【題目】如圖,四邊形OABC是矩形,點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上,B點(diǎn)坐標(biāo)(-2,4)△ODE是△OCB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,點(diǎn)D在x軸上,直線BD交y軸于點(diǎn)F,交OE于點(diǎn)H.
(1) 求直線BD的解析式;
(2) 求△BCF的面積;
(3) 點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上,平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=-x+;(2);(3)存在, 或或
【解析】試題分析:(1)由B點(diǎn)坐標(biāo)(-2,4),可求得B、D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得直線BD的解析式;
(2)可求得E點(diǎn)坐標(biāo),求出直線OE的解析式,聯(lián)立直線BD、OE解析式可求得H點(diǎn)的橫坐標(biāo),可求得△OFH的面積;
(3)當(dāng)△MFD為直角三角形時(shí),可找到滿足條件的點(diǎn)N,分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三種情況,分別求得M點(diǎn)的坐標(biāo),可分別求得矩形對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo),再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得N點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1)B點(diǎn)坐標(biāo)(-2,4),
∴BC=2,OC=4,
∵△ODE是△OCB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,
∴OD=OC=4,DE=BC=2,
∴D(4,0),
設(shè)直線BD解析式為y=kx+b,
把B、D坐標(biāo)代入可得,解得,
∴直線BD的解析式為y=;
(2)由(1)可知E(4,2),
設(shè)直線OE解析式為y=mx,
把E點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得m=,
∴直線OE解析式為y=x,
令-=x,解得x=,
∴H點(diǎn)到y軸的距離為,
又由(1)可得F(0, ),
∴OF=,
∴S△OFH=×=;
(3)∵以點(diǎn)D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,
∴△DFM為直角三角形,
①當(dāng)∠MFD=90°時(shí),則M只能在x軸上,連接FN交MD于點(diǎn)G,如圖1,
由(2)可知OF=,OD=4,
則有△MOF∽△FOD,
∴,即,解得OM=,
∴M(-,0),且D(4,0),
∴G(,0),
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則, ,
解得x=,y=-,此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(,-);
②當(dāng)∠MDF=90°時(shí),則M只能在y軸上,連接DN交MF于點(diǎn)G,如圖2,
則有△FOD∽△DOM,
∴,即,解得OM=6,
∴M(0,-6),且F(0, ),
∴MG=MF=,則OG=OM-MG=6-=,
∴G(0,-),
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則,,
解得x=-4,y=-,此時(shí)N(-4,-);
③當(dāng)∠FMD=90°時(shí),則可知M點(diǎn)為O點(diǎn),如圖3,
∵四邊形MFND為矩形,
∴NF=OD=4,ND=OF=,
可求得N(4, );
綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn),其坐標(biāo)為(, )或(-4,-)或(4, ).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,則四邊形OCED的周長(zhǎng)為( )
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,D為BC上一點(diǎn),且∠DAB=45°.
(1) 求∠DAC的度數(shù).
(2) 求證:△ACD是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:已知AB=10,點(diǎn)C、D在線段AB上且AC=DB=2; P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn),分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB,連結(jié)EF,設(shè)EF的中點(diǎn)為G;當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=﹣1,且經(jīng)A(1,0)、
B(0,﹣3)兩點(diǎn).(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上,是否存在點(diǎn)M,使它到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離之和最小,如果存在求出點(diǎn)M的坐標(biāo),如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且DE∥AC,CE∥BD.
(1)求證:四邊形OCED是菱形;
(2)若AB=3,AD=4,求四邊形OCED的周長(zhǎng)和面積.
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【題目】課前預(yù)習(xí)是學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié),為了了解所教班級(jí)學(xué)生完成課前預(yù)習(xí)的具體情況,某班主任對(duì)本班部分學(xué)生進(jìn)行了為期半個(gè)月的跟蹤調(diào)查,他將調(diào)查結(jié)果分為四類:A.優(yōu)秀,B.良好,C.一般,D.較差,并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)本次調(diào)查的樣本容量是 ;其中A類女生有 名,D類學(xué)生有 名;
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)若從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中各隨機(jī)選取一位學(xué)生進(jìn)行“一幫一”輔導(dǎo)學(xué)習(xí),即A類學(xué)生輔導(dǎo)D類學(xué)生,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法求出所選兩位同學(xué)中恰好是一位女同學(xué)輔導(dǎo)一位男同學(xué)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠MON=ɑ(0°<ɑ<180°),點(diǎn)A.B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)O重合).
(1)如圖1,∠MON=90°,BC是∠ABN的平分線,BC的反方向延長(zhǎng)線與∠BAO的平分線交與點(diǎn)D.
①若∠BAO=60°,則∠D=___.
②猜想:∠D的度數(shù)是否隨A,B的移動(dòng)發(fā)生變化?并說(shuō)明理由。
(2)如圖2,∠MON=α(0°<α<180°)”,∠ABC=∠ABN,∠BAD=∠BAO,其余條件不變,則∠D=___°(用含α、n的代數(shù)式表示)
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【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊BC,AC上,DE∥AB,過點(diǎn)E作EF⊥DE,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,CD=2,則DF的長(zhǎng)為( )
A.2B.3C.4D.5
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