Question

6．對x、y定義一種新運算“P”，規(guī)定：P（x，y）=$\frac{ax+by}{3x+y}$（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等號右邊是通常的四則運算．例如：P（0，1）=$\frac{a×0+b×1}{3×0+1}$=b．
（1）已知P（1，-1）=-2，P（4，2）=1．
①求a、b的值；
②關(guān)于m的不等式P（3m，14-9m）≥2的非負整數(shù)解；
（2）若P（x，y）=P（y，x）對任意x、y都成立（這里的P（x，y）和P（y，x）均有意義），則a、b之間應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)新定義得$\frac{a-b}{3-1}$=-2，$\frac{4a+2b}{12+2}$=1，然后解關(guān)于a、b的方程組即可；
②根據(jù)新定義得$\frac{3m+5（14-9m）}{9m+14-9m}$≥2，然后解關(guān)于m的一元一次不等式，再在解集內(nèi)找出非負整數(shù)即可；
（2）根據(jù)新定義得$\frac{ax+by}{3x+y}$=$\frac{ay+bx}{3y+x}$，然后利用分式的性質(zhì)變形后，因式分解得到（a-3b）（x²-y²）=0，再利用兩有理數(shù)相乘的性質(zhì)可得到a與b的關(guān)系．

解答 解：（1）①P（1，-1）=$\frac{a-b}{3-1}$=-2，P（4，2）=$\frac{4a+2b}{12+2}$=1，
即$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-4}\\{4a+2b=14}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=5}\end{array}\right.$；
②根據(jù)題意得$\frac{3m+5（14-9m）}{9m+14-9m}$≥2，
即3m+5（14-9m）≥28，
去括號、移項得3m-45m≥28-70，
合并得-42m≥-42
系數(shù)化為1得m≤1，
所以不等式的非負整數(shù)解為0，1；
（2）根據(jù)題意得$\frac{ax+by}{3x+y}$=$\frac{ay+bx}{3y+x}$，
整理得（a-3b）（x²-y²）=0，
因為對任意x、y都成立，
所以a-3b=0，即a=3b．

點評 本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解：解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式的整數(shù)解．可以借助數(shù)軸進行數(shù)形結(jié)合，得到需要的值，進而非常容易的解決問題．解決本題的關(guān)鍵是對新定義的理解．