Question

14．如圖，在?ABCD中，E是AD邊上的中點，連接BE，并延長BE交CD的延長線于點F．
（1）求證：△ABE≌△DFE；
（2）連接BD、AF，當(dāng)BE平分∠ABD時，求證：四邊形ABDF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件得出∠ABE=∠DFE，AE=DE，由AAS證明△ABE≌△DFE即可．
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AB=DF，證出四邊形ABDF是平行四邊形，再由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件得出∠DBF=∠DFB，得出DB=DF，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD．
∵點F在CD的延長線上，
∴FD∥AB．
∴∠ABE=∠DFE．
∵E是AD中點，
∴AE=DE．
在△ABE和△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠DFE}&{\;}\\{∠BEA=∠DEF}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（AAS）；
（2）證明：∵△ABE≌△DFE，
∴AB=DF．
∵AB∥DF，AB=DF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形．
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF=∠DBF．
∵AB∥DF，
∴∠ABF=∠DFB，
∴∠DBF=∠DFB．
∴DB=DF．
∴四邊形ABDF是菱形．

點評 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．