Question

【題目】如圖，兩個(gè)30°的角BAC與角MON，頂點(diǎn)A在射線ON上某處，現(xiàn)保持角MON不動(dòng)，將角BAC繞點(diǎn)A以每秒15°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊AB、AC分別與邊OM交于點(diǎn)P、Q，當(dāng)AC∥OM時(shí)，交點(diǎn)Q消失旋轉(zhuǎn)結(jié)束。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）.

（1）當(dāng)t=2秒時(shí)，OP:PQ= ；

（2）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△APQ能否成為等腰三角形？若能，請(qǐng)利用備用圖，直接寫(xiě)出此時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

（3）在（2）中判斷△OAQ的形狀，并選擇其中的一個(gè)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）2:1；

（2）當(dāng)t=3s或6s時(shí)，△APQ為等腰三角形；

（3）△OAQ為等腰三角形，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）當(dāng)t=2秒時(shí)，∠PAO=30°，∠PQA=90°,根據(jù)等角對(duì)等邊定理和30度角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半可得出結(jié)論；

（2）先求出t的取值范圍，然后分三種情況討論，當(dāng)△APQ為等腰三角形時(shí)∠PAO的大小，并進(jìn)而得到t的值；

（3）由（2）得到t的值，代入求得△OAQ的內(nèi)角度數(shù)，從而判斷△OAQ的形狀。

解：（1）如圖1，

當(dāng)t=2秒時(shí)，∠PAO=30°，

∵∠MON=∠BAC=30°

∴∠PAO=∠MON, ∠PQA=90°,

∴OP=AP,PQ=AP，

∴OP:PQ= 2:1；

故答案為：2:1；

（2）當(dāng)AC∥OM時(shí)，∠NAC=∠O=，

∴∠OAB=

∴t=

∴0＜t＜8，

分三種情況： AP=AQ 、AP=PQ和QP=QA，

①當(dāng)AP=AQ時(shí)，

∠APQ=∠AQP=

∴∠PAO=∠APQ-∠O=

∴t=；

②當(dāng)AP=PQ時(shí)，

∠APQ=

∴∠PAO=∠APQ-∠O=

∴t=；

③當(dāng)QP=QA時(shí)，

∠APQ=∠PAQ=

∴∠PAO=∠APQ-∠O=

即t=0s(舍去)

綜上所述，當(dāng)t=3s或6s時(shí)，△APQ為等腰三角形；

（3）當(dāng)t=3s或6s時(shí)，△OAQ為等腰三角形,

理由是：

當(dāng)t=3s時(shí)，∠OAP=45°，∠PAQ=30°，

∴∠OAQ=75°，

又∠AQP=75°，

∴OA=OQ,即△APQ為等腰三角形.

當(dāng)t=6s時(shí)，∠OAP=90°，∠PAQ=30°，

∴∠OAQ=120°，

又∠AOQ=30°，

∴∠OQA=30°

∴OA=AQ,即△APQ為等腰三角形.