【題目】如圖,拋物線)與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于B,C兩點(diǎn)(點(diǎn)C在x軸正半軸上),ABC為等腰直角三角形,且面積為4,現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移,平移后的拋物線過點(diǎn)C時(shí),與x軸的另一點(diǎn)為E,其頂點(diǎn)為F,對稱軸與x軸的交點(diǎn)為H.


(1)求a、c的值及拋物線的解析式

(2)連接OF,試判斷OEF是否為等腰三角形,并說明理由.

【答案】(1)a=,c=2;(2)OEF是等腰三角形.

【解析】

試題分析:(1)A(0,c),得到OA=c,再等腰直角三角形的性質(zhì)得OA=OB=OC=c,由三角形面積公式解得,解得c=2,把C(2,0)代入可求出a的值;

(2)如圖1,先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為,設(shè)F(t,t+2),利用拋物線平移的規(guī)律可設(shè)平移后的拋物線解析式為,再把C(2,0)代入解得t=6,則平移后的拋物線解析式為,所以F(6,8),利用勾股定理出OF=10,拋物線與x軸的交點(diǎn)確定E(10,0),則OE=OF=10,于是可判斷OEF為等腰三角形;

試題解析:解:(1)拋物線)與y軸交于點(diǎn)A,

A(0,c),則OA=c,

∵△ABC為等腰直角三角形,

OA=OB=OC=c,

c2c=4,解得c=2,

C(2,0),

把C(2,0)代入得4a+2=0,解得a=;

拋物線的解析式是:.

(2)OEF是等腰三角形.理由如下:如圖1,

設(shè)直線AB的解析式為,

把A(0,2)、B(﹣2,0)代入得,解得

則直線AB的解析式為,設(shè)F(t,t+2),

拋物線沿BA方向平移,平移后的拋物線過點(diǎn)C時(shí),頂點(diǎn)為F,

平移后的拋物線解析式為

把C(2,0)代入得,解得t=6,

平移后的拋物線解析式為,

F(6,),

OF==10,

y=0時(shí),,解得,

OE=10,

OE=OF,

∴△OEF為等腰三角形;

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