Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB；
（2）連接BD，AE交于點(diǎn)H，若AB=5，tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，求BH的值．

Answer 1

分析 （1）連接AE，利用等腰三角形的性質(zhì)易證∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB，由弦切角定理可得∠CBD=∠BAE，所以∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB．
（2）由tan∠CBF=tan∠EAB=$\frac{1}{2}$，得出$\frac{BE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，根據(jù)勾股定理求得BE，根據(jù)圓周角定理得出∠BAE=∠CAE，即可得出∠EBD=∠EAB，由∠EBD=∠EAB，得出tan∠EBD=$\frac{EH}{EB}$=$\frac{1}{2}$，即可求得EH，然后根據(jù)勾股定理求得BH即可．

解答 （1）證明：連接AE，
∵AB是圓的直徑，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∵BF是⊙O的切線，
∴∠CBF=∠BAE，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB．
（2）解：∵tan∠CBF=tan∠EAB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=5，AB²=BE²+AE²，
∴25=BE²+4BE²，
∴BE=$\sqrt{5}$，
∵∠BAE=∠CAE，∠EBD=∠CAE，
∴∠EBD=∠EAB，
∴tan∠EBD=$\frac{EH}{EB}$=$\frac{1}{2}$，
∴EH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BH=$\sqrt{B{E}^{2}+E{H}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了弦切角定理的運(yùn)用、圓周角定理，勾股定理，直角三角函數(shù)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的添加輔助線，利用等腰三角形的性質(zhì)解題．