Question

【題目】已知：一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（）的圖象相交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)）．

（1）當(dāng)A（4，2）時，求反比例函數(shù)的解析式及B點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）當(dāng)A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）時，直線OA與此反比例函數(shù)圖象的另一支交于另一點(diǎn)C，連接BC交y軸于點(diǎn)D．若，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1），B（1，8）；（2）（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；（3）10．

【解析】

試題（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，就可求出反比例函數(shù)的解析式；解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式組成的方程組，就可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，分兩種情況討論：①若∠BAP=90°，過點(diǎn)A作AH⊥OE于H，設(shè)AP與x軸的交點(diǎn)為M，如圖1，求得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．證明△AHM∽△EHA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MH，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線AP的解析式，再解直線AP與反比例函數(shù)的解析式組成的方程組，就可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②若∠ABP=90°，同理即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)B作BS⊥y軸于S，過點(diǎn)C作CT⊥y軸于T，連接OB，如圖2，易證△CTD∽△BSD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到．由A、B都在反比例函數(shù)的圖象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把代入即可求出a的值，從而得到點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)及OD的值，然后運(yùn)用割補(bǔ)法可求出S△COB，再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB．

試題解析：（1）把A（4，2）代入，得k=4×2=8，∴反比例函數(shù)的解析式為，解方程組，得：或，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，8）；

（2）①若∠BAP=90°，過點(diǎn)A作AH⊥OE于H，設(shè)AP與x軸的交點(diǎn)為M，如圖1，對于y=﹣2x+10，當(dāng)y=0時，﹣2x+10=0，解得x=5，∴點(diǎn)E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，∴，∴MH=4，∴M（0，0），可設(shè)直線AP的解析式為，則有，解得m=，∴直線AP的解析式為，解方程組，得：或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）．

②若∠ABP=90°，同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣16，）．

綜上所述：符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；

（3）過點(diǎn)B作BS⊥y軸于S，過點(diǎn)C作CT⊥y軸于T，連接OB，如圖2，則有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴．∵，∴．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，∴=，即．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函數(shù)的圖象上，∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）=（﹣2×+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10=（﹣2×+10），解得：a=3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．

設(shè)直線BC的解析式為，則有，解得：，∴直線BC的解析式為．當(dāng)x=0時，y=2，則點(diǎn)D（0，2），OD=2，∴S△COB=S△ODC+S△ODB=OD·CT+OD·BS=×2×3+×2×2=5．∵OA=OC，∴S△AOB=S△COB，∴S△ABC=2S△COB=10．