【題目】如圖,在△BCE中,點A是邊BE上一點,以AB為直徑的⊙O與CE相切于點D,AD∥OC,點F為OC與⊙O的交點,連接AF.
(1)求證:CB是⊙O的切線;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求圖中陰影部分的面積.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)欲證明CB是⊙O的切線,只要證明BC⊥OB,可以證明△CDO≌△CBO解決問題.
(2)首先證明S陰=S扇形ODF,然后利用扇形面積公式計算即可.
試題解析:(1)證明:連接OD,與AF相交于點G,∵CE與⊙O相切于點D,∴OD⊥CE,∴∠CDO=90°,∵AD∥OC,∴∠ADO=∠1,∠DAO=∠2,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO,∴∠1=∠2,在△CDO和△CBO中,∵CO=CO,∠1=∠2,OD=OC,∴△CDO≌△CBO,∴∠CBO=∠CDO=90°,∴CB是⊙O的切線.
(2)由(1)可知∠3=∠BCO,∠1=∠2,∵∠ECB=60°,∴∠3=∠ECB=30°,∴∠1=∠2=60°,∴∠4=60°,∵OA=OD,∴△OAD是等邊三角形,∴AD=OD=OF,∵∠1=∠ADO,在△ADG和△FOG中,∵∠1=∠ADG,∠FGO=∠AGD,AD=OF,∴△ADG≌△FOG,∴S△ADG=S△FOG,∵AB=6,∴⊙O的半徑r=3,∴S陰=S扇形ODF== .
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【題目】如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點,過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F,連接CF.
(1)求證:AF=BD;
(2)若AB⊥AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,由兩個長為8,寬為4的全等矩形疊合而得到四邊形ABCD,則四邊形ABCD面積的最大值是( )
A.15B.16C.19D.20
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x+2與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一交點為點B.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點D為直線AC上方拋物線上一動點;
①連接BC、CD,設(shè)直線BD交線段AC于點E,△CDE的面積為S1, △BCE的面積為S2, 求的最大值;
②過點D作DF⊥AC,垂足為點F,連接CD,是否存在點D,使得△CDF中的某個角恰好等于∠BAC的2倍?若存在,求點D的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由
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【題目】甲、乙兩商場以同樣價格出售同樣的商品:并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案,在甲商場累計購物超過100元后,超出100元的部分按收費;在乙商場累計購物超過50元后,超出50元的部分按收費.顧客到哪家商場購物花費少?
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【題目】【背景】已知:l∥m∥n∥k,平行線l與m、m與n、n與k之間的距離分別為d1,d2,d3,且d1=d3=1,d2=2.我們把四個頂點分別在l,m,n,k這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形” .
【探究1】(1)如圖1,正方形ABCD為“格線四邊形”,BE⊥l于點E,BE的反向延長線交直線k于點F.求正方形ABCD的邊長.
【探究2】(2)如圖2,菱形ABCD為“格線四邊形”且∠ADC=60°,△AEF是等邊三角形,AE⊥k于點E,∠AFD=90°,直線DF分別交直線l,k于點G、點M.求證:EC=DF.
【拓展】(3)如圖3,l∥k,等邊△ABC的頂點A,B分別落在直線l,k上,AB⊥k于點B,且∠ACD=90°,直線CD分別交直線l、k于點G、點M,點D、點E分別是線段GM、BM上的動點,且始終保持AD=AE,DH⊥l于點H.猜想:DH在什么范圍內(nèi),BC∥DE?并說明此時BC∥DE的理由.
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【題目】現(xiàn)有甲、乙兩個空調(diào)安裝隊分別為A、B兩個公司安裝空調(diào),甲安裝隊為A公司安裝66臺空調(diào),乙安裝隊為B公司安裝60臺空調(diào),甲、乙兩隊安裝空調(diào)所用的總時間相同.已知甲隊比乙隊平均每天多安裝2臺空調(diào),求甲、乙兩個安裝隊平均每天各安裝空調(diào)的臺數(shù).
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【題目】對任意一個三位數(shù)n,如果n滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同,且都不為零,那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”,將一個“相異數(shù)”n的各個數(shù)位上的數(shù)字之和記為F(n).例如n=135時,F(135)=1+3+5=9.
(1)對于“相異數(shù)”n,若F(n)=6,請你寫出一個n的值;
(2)若a,b都是“相異數(shù)”,其中a=100x+12,b=350+y(1≤x≤9,1≤y≤9,x,y都是正整數(shù)),規(guī)定:k=,當(dāng)F(a)+F(b)=18時,求k的最小值.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,點E,F(xiàn)分別在BC,AB上,點M在BA的延長線上,且CE=BF=AM,過點M,E分別作NM⊥DM,NE⊥DE交于N,連接NF.
(1)求證:DE⊥DM;
(2)猜想并寫出四邊形CENF是怎樣的特殊四邊形,并證明你的猜想.
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