Question

【題目】如圖，在△BCE中，點A是邊BE上一點，以AB為直徑的⊙O與CE相切于點D，AD∥OC，點F為OC與⊙O的交點，連接AF.

（1）求證：CB是⊙O的切線；

（2）若∠ECB=60°，AB=6，求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）欲證明CB是⊙O的切線，只要證明BC⊥OB，可以證明△CDO≌△CBO解決問題．

（2）首先證明S陰=S扇形ODF，然后利用扇形面積公式計算即可．

試題解析：（1）證明：連接OD，與AF相交于點G，∵CE與⊙O相切于點D，∴OD⊥CE，∴∠CDO=90°，∵AD∥OC，∴∠ADO=∠1，∠DAO=∠2，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠1=∠2，在△CDO和△CBO中，∵CO=CO，∠1=∠2，OD=OC，∴△CDO≌△CBO，∴∠CBO=∠CDO=90°，∴CB是⊙O的切線．

（2）由（1）可知∠3=∠BCO，∠1=∠2，∵∠ECB=60°，∴∠3=∠ECB=30°，∴∠1=∠2=60°，∴∠4=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等邊三角形，∴AD=OD=OF，∵∠1=∠ADO，在△ADG和△FOG中，∵∠1=∠ADG，∠FGO=∠AGD，AD=OF，∴△ADG≌△FOG，∴S△ADG=S△FOG，∵AB=6，∴⊙O的半徑r=3，∴S陰=S扇形ODF== ．