Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點M，弦MN∥BC交AB于點E，且ME＝1，AM＝2，AE＝．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)欲證明BC是⊙O的切線，只需證明AB⊥BC即可；

(2)連接OM，設⊙O的半徑是r，在Rt△AEM中，OE＝AE﹣OA＝﹣r，ME＝1，OM＝r，利用勾股定理即可求得.

（1）證明：∵在△AME中，AM＝2，ME＝1，AE＝，

∴AM2＝ME2+AE2，

∴△AME是直角三角形，

∴∠AEM＝90°，

又∵MN∥BC，

∴∠ABC＝90°，

∴AB⊥BC，

而AB為直徑，

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：連接OM，如圖，設⊙O的半徑是r，

在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝﹣r，ME＝1，OM＝r，

∵OM2＝ME2+OE2，

∴r2＝12+（﹣r）2，

解得r＝，

即⊙O的半徑為．

故答案為：(1)證明見解析；(2)．