Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形G的投影矩形定義如下：矩形的兩組對邊分別平行于x軸，y軸，圖形G的頂點在矩形的邊上或內(nèi)部，且矩形的面積最小．設(shè)矩形的較長的邊與較短的邊的比為k，我們稱常數(shù)k為圖形G的投影比．如圖1，矩形ABCD為△DEF的投影矩形，其投影比．

（1）如圖2，若點A（1，3），B（3，5），則△OAB投影比k的值為　　．

（2）已知點C（4，0），在函數(shù)y=2x﹣4（其中x＜2）的圖象上有一點D，若△OCD的投影比k=2，求點D的坐標(biāo)．

（3）已知點E（3，2），在直線y=x+1上有一點F（5，a）和一動點P，若△PEF的投影比1＜k＜2，則點P的橫坐標(biāo)m的取值范圍　　（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) D（1，﹣2）;(3) 1＜m＜3或m＞5．

【解析】試題分析：（1）分別過點B作坐標(biāo)軸的垂線，構(gòu)成的矩形即是△OAB的投影矩形；（2）分類討論，當(dāng)點O,D,C都在投影矩形的邊上時，點D在第四象限，當(dāng)點D，C在投影矩形的邊上，O在投影矩形內(nèi)部時，點D在第三象限，然后利用投影比的定義求解；（3）點E，F是兩個定點，點P是直線上的動點，根據(jù)點P的位置的不同，所構(gòu)造的投影矩形也不同，所以應(yīng)分三種情況討論。

試題解析：（1）在圖2中

過點B作BC⊥x軸于點C，作BD⊥y軸于點D，則矩形OCBD為△OAB的投影矩形，∵點B（3，5），∴OC=3，BC=5，∴△OAB投影比k的值為=．

（2）∵點D為函數(shù)y=2x﹣4（其中x＜2）的圖象上的點，設(shè)點D坐標(biāo)為（x，2x﹣4）（x＜2）．分以下兩種情況：①當(dāng)0≤x≤2時，如圖3所示，

作投影矩形OMNC．∵OC≥OM，∴，解得x=1，∴D（1，﹣2）；②當(dāng)x＜0時，如圖4所示，作投影矩形MDNC．

∵點D坐標(biāo)為（x，2x﹣4），點M點坐標(biāo)為（x，0），∴DM=|2x﹣4|=4﹣2x，MC=4﹣x，∵x＜0，∴DM＞CM，∴，但此方程無解．

∴當(dāng)x＜0時，滿足條件的點D不存在．綜上所述，點D的坐標(biāo)為D（1，﹣2）．

（3）令y=x+1中y=2，則x+1=2，解得：x=1．

①當(dāng)m≤1時，作投影矩形A′FB′P，如圖5所示．此時點P（m，m+1），PA′=5﹣m，FA′=6﹣（m+1）=5﹣m，△PEF的投影比k==1，∴m≤1不符合題意；

②當(dāng)1＜m＜3時，作投影矩形A′FB′Q，如圖6所示．

此時點P（m，m+1），FB′=5﹣m，FA′=6﹣2=4，△PEF的投影比k==，

∵1＜m＜3，∴1＜k＜2，∴1＜m＜3符合題意；

③當(dāng)3≤m≤5時，作投影矩形A′FB′E，如圖7所示．

此時點E（3，2），FA′=6﹣2=4，FB′=5﹣3=2，△PEF的投影比k==2，

∴3≤m≤5不符合題意；

④當(dāng)m＞5時，作投影矩形A′PB′E，如圖8所示．

此時點P（m，m+1），點E（3，2），PB′=m+1﹣2=m﹣1，PA′=m﹣3，△PEF的投影比k==，∵m＞5，∴1＜k＜2，∴m＞5符合題意．

綜上可知：點P的橫坐標(biāo)m的取值范圍為1＜m＜3或m＞5．

故答案為：1＜m＜3或m＞5．