【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圖形G的投影矩形定義如下:矩形的兩組對邊分別平行于x軸,y軸,圖形G的頂點在矩形的邊上或內(nèi)部,且矩形的面積最小.設(shè)矩形的較長的邊與較短的邊的比為k,我們稱常數(shù)k為圖形G的投影比.如圖1,矩形ABCD為△DEF的投影矩形,其投影比

(1)如圖2,若點A(1,3),B(3,5),則△OAB投影比k的值為  

(2)已知點C(4,0),在函數(shù)y=2x﹣4(其中x<2)的圖象上有一點D,若△OCD的投影比k=2,求點D的坐標(biāo).

(3)已知點E(3,2),在直線y=x+1上有一點F(5,a)和一動點P,若△PEF的投影比1<k<2,則點P的橫坐標(biāo)m的取值范圍  (直接寫出答案).

【答案】(1) ;(2) D(1,﹣2);(3) 1<m<3或m>5.

【解析】試題分析:(1)分別過點B作坐標(biāo)軸的垂線,構(gòu)成的矩形即是△OAB的投影矩形;(2)分類討論,當(dāng)點O,D,C都在投影矩形的邊上時,點D在第四象限,當(dāng)點DC在投影矩形的邊上,O在投影矩形內(nèi)部時,點D在第三象限,然后利用投影比的定義求解;(3)點E,F是兩個定點,點P是直線上的動點,根據(jù)點P的位置的不同,所構(gòu)造的投影矩形也不同,所以應(yīng)分三種情況討論。

試題解析:(1)在圖2中

過點BBCx軸于點C,作BDy軸于點D,則矩形OCBD為△OAB的投影矩形,∵點B(3,5),∴OC=3,BC=5,∴△OAB投影比k的值為=

(2)∵點D為函數(shù)y=2x﹣4(其中x<2)的圖象上的點,設(shè)點D坐標(biāo)為(x,2x﹣4)(x<2).分以下兩種情況:①當(dāng)0≤x≤2時,如圖3所示,

作投影矩形OMNC.∵OCOM,∴,解得x=1,∴D(1,﹣2);②當(dāng)x<0時,如圖4所示,作投影矩形MDNC

∵點D坐標(biāo)為(x,2x﹣4),點M點坐標(biāo)為(x,0),∴DM=|2x﹣4|=4﹣2x,MC=4﹣x,∵x<0,∴DMCM,∴,但此方程無解.

∴當(dāng)x<0時,滿足條件的點D不存在.綜上所述,點D的坐標(biāo)為D(1,﹣2).

(3)令y=x+1中y=2,則x+1=2,解得:x=1.

①當(dāng)m≤1時,作投影矩形AFBP,如圖5所示.此時點Pm,m+1),PA=5﹣mFA′=6﹣(m+1)=5﹣m,△PEF的投影比k==1,∴m≤1不符合題意;

②當(dāng)1<m<3時,作投影矩形AFBQ,如圖6所示.

此時點Pmm+1),FB=5﹣m,FA=6﹣2=4,△PEF的投影比k==,

∵1<m<3,∴1<k<2,∴1<m<3符合題意;

③當(dāng)3≤m≤5時,作投影矩形AFBE,如圖7所示.

此時點E(3,2),FA=6﹣2=4,FB=5﹣3=2,△PEF的投影比k==2,

∴3≤m≤5不符合題意;

④當(dāng)m>5時,作投影矩形APBE,如圖8所示.

此時點Pm,m+1),點E(3,2),PB=m+1﹣2=m﹣1,PA=m﹣3,△PEF的投影比k==,∵m>5,∴1<k<2,∴m>5符合題意.

綜上可知:點P的橫坐標(biāo)m的取值范圍為1<m<3或m>5.

故答案為:1<m<3或m>5.

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設(shè)

,可知

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可解得 ,即 .填空:將寫成分?jǐn)?shù)形式為

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