Question

20．如圖，AB是⊙O的直徑，C、G是⊙O上兩點(diǎn)，且C是弧AG的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線CD⊥BG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC，交OD于點(diǎn)F．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若$\frac{OF}{FD}$=$\frac{2}{3}$，求證：AE=AO；
（3）連接AD，在（2）的條件下，若CD=2$\sqrt{3}$，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OC，AC，CG，由圓周角定理得到∠ABC=∠CBG，根據(jù)同圓的半徑相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代換得到∠OCB=∠CBG，根據(jù)平行線的判定得到OC∥BG，即可得到結(jié)論；
（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到$\frac{OC}{BD}$=$\frac{OF}{DF}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{OC}{DB}$=$\frac{OE}{BE}$=$\frac{2}{3}$，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）如圖2，過(guò)A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=6，DE=6$\sqrt{3}$，BE=12，在Rt△DAH中，AD=$\sqrt{A{H}^{2}+D{H}^{2}}$，求出答案即可．

解答 （1）證明：如圖1，連接OC，AC，CG，
∵AC=CG，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CG}$，
∴∠ABC=∠CBG，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠CBG，
∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵OC∥BD，
∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，
∴$\frac{OC}{BD}$=$\frac{OF}{DF}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OC}{DB}$=$\frac{OE}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
∵OA=OB，
∴AE=OA=OB，
∴OC=$\frac{1}{2}$OE，
∵∠ECO=90°，
∴∠E=30°；

（3）解：如圖2，過(guò)A作AH⊥DE于H，
∵∠E=30°
∴∠EBD=60°，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠EBD=30°，
∵CD=2$\sqrt{3}$，
∴BD=6，DE=6$\sqrt{3}$，BE=12，
∴AE=$\frac{1}{3}$BE=4，
∴AH=2，
∴EH=2$\sqrt{3}$，
∴DH=4$\sqrt{3}$，
在Rt△DAH中，AD=$\sqrt{A{H}^{2}+D{H}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．