Question

已知一反比例函數(shù)y=-

4

x

與一正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A和B，分別過點(diǎn)A、B作y的垂線，垂足為點(diǎn)C和D，連接AD和BC．
（1）求證：四邊形ACBD為平行四邊形；
（2）求四邊形ACBD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且正比例函數(shù)圖象過原點(diǎn)，得到OA=OB，再由一對直角相等，一對對頂角相等，利用AAS得到三角形AOC與三角形BOD全等，由全等三角形對應(yīng)邊相等得到AC=DB，再由AC與BD都與y軸對稱，得到AC與BD平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形就可得證；
（2）由四邊形ACBD為平行四邊形，得到對角線互相平分，即OC=OD，OA=OB，利用同底等高的三角形面積相等得到三角形AOC，三角形AOD，三角形BOD以及三角形BOC面積都相等，求出三角形AOC面積乘以4即可得到平行四邊形ACBD的面積．

解答：解：（1）∵一反比例函數(shù)y=-

4

x

與一正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A和B，
∴OA=OB，
∵AC⊥y軸，BD⊥y軸，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴AC∥BD，
在△ACO和△BDO中，

∠ACO=∠BDO=90° ∠AOC=∠BOD OA=OB

，
∴△ACO≌△BDO（AAS），
∴AC=BD，
則四邊形ACBD為平行四邊形；
（2）∵四邊形ACBD為平行四邊形，
∴OA=OB，OC=OD，
∴S_△AOC=S_△BOD=S_△BOC=S_△AOD=

1

4

S_{四邊形ACBD}，
設(shè)A坐標(biāo)為（x，y），將A坐標(biāo)代入反比例解析式代入得：|xy|=4，
則S_{四邊形ACBD}=4S_△AOC=4×

1

2

|xy|=8．

點(diǎn)評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．