【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx過(guò)A40),B13)兩點(diǎn),點(diǎn)CB關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,過(guò)點(diǎn)B作直線BH⊥x軸,交x軸于點(diǎn)H

1)求拋物線的表達(dá)式;

2)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo),并求出△ABC的面積;

3)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且位于第四象限,當(dāng)△ABP的面積為6時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

4)若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Nx軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)△CMN的面積.

【答案】1y=﹣x2+4x;(2)(33);3;(3)(5﹣5);(42.514.5175

【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=2寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,3),根據(jù)面積公式求△ABC的面積;(3)因?yàn)辄c(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且位于第四象限,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(m,﹣m2+4m),利用差表示△ABP的面積,列式計(jì)算求出m的值,寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);(4)分別以點(diǎn)CM、N為直角頂點(diǎn)分三類進(jìn)行討論,利用全等三角形和勾股定理求CMCN的長(zhǎng),利用面積公式進(jìn)行計(jì)算.

試題解析:(1)把點(diǎn)A4,0),B1,3)代入拋物線y=ax2+bx中,

解得: ,

拋物線表達(dá)式為:y=﹣x2+4x

2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,3),

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3),

∴BC=2,

SABC=×2×3=3;

3)過(guò)P點(diǎn)作PD⊥BHBH于點(diǎn)D,

設(shè)點(diǎn)Pm﹣m2+4m),

根據(jù)題意,得:BH=AH=3,HD=m2﹣4mPD=m﹣1,

∴SABP=SABH+S四邊形HAPD﹣SBPD,

6=×3×3+3+m﹣1)(m2﹣4mm﹣1)(3+m2﹣4m),

∴3m2﹣15m=0

m1=0(舍去),m2=5,

點(diǎn)P坐標(biāo)為(5,﹣5).

4)以點(diǎn)CM、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí),分三類情況討論:

以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且Mx軸上方時(shí),如圖2CM=MN,∠CMN=90°,

△CBM≌△MHN,

∴BC=MH=2,BM=HN=3﹣2=1,

∴M1,2),N2,0),

由勾股定理得:MC=,

SCMN=××=;

以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且Mx軸下方時(shí),如圖3,作輔助線,構(gòu)建如圖所示的兩直角三角形:Rt△NEMRt△MDC,

Rt△NEM≌Rt△MDC

∴EM=CD=5,MD=ME=2

由勾股定理得:CM==,

SCMN=××=;

以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且Ny軸左側(cè)時(shí),如圖4,CN=MN∠MNC=90°,作輔助線,

同理得:CN==,

SCMN=××=17;

以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且Ny軸右側(cè)時(shí),作輔助線,如圖5,同理得:CN==,

SCMN=××=5;

C為直角頂點(diǎn)時(shí),不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形;

綜上所述:CMN的面積為: 175

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