Question

如圖，直線AB與x軸、y軸分別交于點A、B，點A的坐標是（2，0），∠ABO=30°．在坐標平面內，是否存在點P（除點O外），使得△APB與△AOB全等．請寫出所有符合條件的點P的坐標

（0，0）或（2，2

3

）或（-1，

3

）或（3，

3

）

．

Answer 1

分析：根據題意分為四種情況，畫出圖形，根據全等三角形性質和含30度角的直角三角形性質，勾股定理求出即可．

解答：解：∵點A的坐標是（2，0），∠ABO=30°，
∴OA=2，AB=2AO=4，由勾股定理得：OB=2

3

，
分為四種情況：①當P和O重合時，符合條件，此時P的坐標是（0，0）；
②
如圖1，此時PB=OA=2，PA=OB=2

3

，
即P的坐標是（2，2

3

）；
③
如圖2，過P作PM⊥OA于M，
則∠PAM=60°-30°=30°，
∴PM=

1

2

AP=

1

2

OB=

3

，
AM=

3

PM=3，
∴OM=3-2=1，
∴P的坐標是（-1，

3

）；
④
如圖3，過P作PM⊥OA于M，
則∠PAM=180°-60°-60°=60°，
∴∠APM=30°，
∴AM=

1

2

AP=

1

2

OA=1，
∴PM=

3

AM=

3

，OM=1+2=3，
∴P的坐標是（3，

3

），
故答案為：（0，0）或（2，2

3

）或（-1，

3

）或（3，

3

）．

點評：本題考查了全等三角形性質，勾股定理，含30度角的直角三角形性質的應用，注意要進行分類討論�。�