Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以AB為直徑作半圓，點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，BP與半圓交于點(diǎn)Q，連結(jié)DQ，給出如下結(jié)論：①DQ=1；② = ；③S△PDQ= ；④cos∠ADQ= ，其中正確結(jié)論是（填寫(xiě)序號(hào)）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：正確結(jié)論是①②④． 提示：①連接OQ，OD，如圖1．

易證四邊形DOBP是平行四邊形，從而可得DO∥BP．
結(jié)合OQ=OB，可證到∠AOD=∠QOD，從而證到△AOD≌△QOD，
則有DQ=DA=1．
故①正確；②連接AQ，如圖2．

則有CP= ，BP= = ．
易證Rt△AQB∽R(shí)t△BCP，
運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求得BQ= ，
則PQ= ﹣ = ，
∴ = ．
故②正確；③過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥DC于H，如圖3．

易證△PHQ∽△PCB，
運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求得QH= ，
∴S△DPQ= DPQH= × × = ．
故③錯(cuò)誤；④過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AD于N，如圖4．

易得DP∥NQ∥AB，
根據(jù)平行線分線段成比例可得 = = ，
則有 = ，
解得：DN= ．
由DQ=1，得os∠ADQ= = ．
故④正確．
綜上所述：正確結(jié)論是①②④．
所以答案是：①②④．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平行四邊形的判定與性質(zhì)和平行線分線段成比例，掌握若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例即可以解答此題．