Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角三角形AOB的頂點(diǎn)A、B分別落在坐標(biāo)軸上．O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8）．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)．沿OA向終點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向終點(diǎn)B以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)t=3秒時(shí)．直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求出經(jīng)過(guò)O、A、N三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）在此運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△MNA的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△MNA是一個(gè)等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，A（6，0）、B（0，8），則OA=6，OB=8，AB=10；

當(dāng)t=3時(shí)，AN= t=5= AB，即N是線段AB的中點(diǎn)；

∴N（3，4）．

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax（x﹣6），則：

4=3a（3﹣6），a=﹣ ；

∴拋物線的解析式：y=﹣ x（x﹣6）=﹣ x2+ x

（2）

解：過(guò)點(diǎn)N作NC⊥OA于C；

由題意，AN= t，AM=OA﹣OM=6﹣t，NC=NAsin∠BAO= t = t；

則：S△MNA= AMNC= ×（6﹣t）× t=﹣ （t﹣3）2+6．

∴△MNA的面積有最大值，且最大值為6

（3）

解：∵Rt△NCA中，AN= t，NC=ANsin∠BAO= t，AC=ANcos∠BAO=t；

∴OC=OA﹣AC=6﹣t，

∴N（6﹣t， t）．

∴NM= = ；

又：AM=6﹣t，AN= t（0＜t≤6）；

①當(dāng)MN=AN時(shí)， = t，即：t2﹣8t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；

②當(dāng)MN=MA時(shí)， =6﹣t，即： t2﹣12t=0，t1=0（舍去），t2= ；

③當(dāng)AM=AN時(shí)，6﹣t= t，即t= ；

綜上，當(dāng)t的值取2或 或 時(shí)，△MAN是等腰三角形

【解析】（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可得到OA=6、OB=8、AB=10；當(dāng)t=3時(shí)，AN=5，即N是AB的中點(diǎn)，由此得到點(diǎn)N的坐標(biāo)．然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．（2）△MNA中，過(guò)N作MA邊上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表達(dá)式，而AM=OA﹣OM，由三角形的面積公式可得到關(guān)于S△MNA、t的函數(shù)關(guān)系式，利用所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△MNA的最大面積．（3）首先求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出AM、MN、AN三邊的長(zhǎng)；由于△MNA的腰和底不確定，若該三角形是等腰三角形，可分三種情況討論：①M(fèi)N=NA、②MN=MA、③NA=MA；直接根據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可．