Question

已知圓內(nèi)接正n邊形A₁，A₂，A₃…A_n-1，A_n，p是圓上異于A_n-2，A_n的弧A_n-2A₁A_n上的一點(diǎn)，求的值．

Answer 1

解：如圖，連接A_n-2A_n，過A_n-2作A_n-1M⊥A_n于M，
∵=，且它們的度數(shù)均為，
∴∠A_n-2A_nA_n-1=，
設(shè)A_n-2A_nA_n-1=A_n-2A_nA_n=a，
∴A_nM=acos，
∴A_n-2A_n=2acos，
∵PA_n-2A_n-1A_n為圓內(nèi)接四邊形，由托勒密定理（圓內(nèi)接四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積）得：
PA_n-2A_n-1A_n+PA_nA_n-2A_n-1=PA_n-1A_n-2A_n，即a（PA_n-2+PA_n）=PA_n-1•2cos，
∴=2cos．
故答案為：2cos．
分析：連接A_n-2A_n，過A_n-2作A_n-1M⊥A_n于M，再由圓心角、弧、弦的關(guān)系可求出=的度數(shù)，
設(shè)A_n-2A_nA_n-1=A_n-2A_nA_n=a，由銳角三角函數(shù)的定義可求出A_nM及A_n-2A_n的值，最后由托勒密定理求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正多邊形和圓、托勒密定理及銳角三角函數(shù)的定義，熟知托勒密定理是解答此題的關(guān)鍵．