Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A（-4，3），B（4，4）．
（1）求二次函數(shù)的解析式：
（2）求證：△ACB是直角三角形；
（3）若點(diǎn)P在第二象限，且是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直x軸于點(diǎn)H，是否存在以P、H、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，3），B（4，4），
故可得：，
解得：，
故二次函數(shù)關(guān)系式為：y=（x+2）（13x-20）．

（2）由（1）所求函數(shù)關(guān)系式可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)D坐標(biāo)為（，0），
又∵點(diǎn)A（-4，3），B（4，4），
∴AB==，AC==，BC==，
∵滿足AB²=AC²+BC²，
∴△ACB是直角三角形．

（3）存在點(diǎn)P的坐標(biāo)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，）或（-，）．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，（x+2）（13x-20）），則PH=（x+2）（13x-20），HD=-x+，
①若△DHP∽△BCA，則=，即=，
解得：x=-或x=（因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限，故舍去）；
代入可得PH=，即P₁坐標(biāo)為（-，）；
②若△PHD∽△BCA，則=，即=，
解得：x=-或x=（因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限，故舍去）．
代入可得PH=，即P₂坐標(biāo)為：（-，）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，即P₁（-，）、P₂（-，）．
分析：（1）將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得出a、b的值，繼而可得出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后分別求出AC、AB、BC的長(zhǎng)度，利用勾股定理的逆定理證明即可；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分別利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，同時(shí)還讓學(xué)生探究存在性問(wèn)題，本題的第三問(wèn)計(jì)算量比較大，同學(xué)們要注意細(xì)心求解．