Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，3）、B（4，0）和原點(diǎn)O．P為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點(diǎn)C．
（1）求出二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，求線段PC的最大值；
（3）當(dāng)m＞0時(shí)，探索是否存在點(diǎn)P，使得△PCO為等腰三角形，如果存在，求出P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)y=ax（x-4），把A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出答案；
（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出PC=-m²+3m，化成頂點(diǎn)式即可求出線段PC的最大值；
（3）當(dāng)0＜m＜3時(shí)，僅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；當(dāng)m≥3時(shí)，PC=CD-PD=m²-3m，OC=

2

m，分為三種情況：①當(dāng)OC=PC時(shí)，m2-3m=

2

m，求出方程的解即可得到P的坐標(biāo)；同理可求：②當(dāng)OC=OP時(shí)，③當(dāng)PC=OP時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．綜合上述即可得到答案．

解答：解：（1）設(shè)y=ax（x-4），
把A點(diǎn)坐標(biāo)（3，3）代入得：
a=-1，
函數(shù)的解析式為y=-x²+4x，
答：二次函數(shù)的解析式是y=-x²+4x．

（2）解：0＜m＜3，PC=PD-CD，
∵D（m，0），PD⊥x軸，P在y=-x²+4x上，C在OA上，A（3，3），
∴P（m，-m²+4m），C（m，m）
∴PC=PD-CD=-m²+4m-m=-m²+3m，
=-(m-

3

2

)2+

9

4

，
∵-1＜0，開口向下，
∴有最大值，
當(dāng)D（

3

2

，0）時(shí)，PC_max=

9

4

，
答：當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，線段PC的最大值是

9

4

．

（3）當(dāng)0＜m＜3時(shí)，僅有OC=PC，
∴-m2+3m=

2

m，
解得m=3-

2

，
∴P(3-

2

，1+2

2

)；
當(dāng)m≥3時(shí)，PC=CD-PD=m²-3m，
OC=

2

m，
由勾股定理得：OP²=OD²+DP²=m²+m²（m-4）²，
①當(dāng)OC=PC時(shí)，m2-3m=

2

m，
解得：m=3+

2

或m=0（舍去），
∴P(3+

2

，1-2

2

)；
②當(dāng)OC=OP時(shí)，(

2

m)2=m2+m2(m-4)2，
解得：m₁=5，m₂=3，
∵m=3時(shí)，P和A重合，即P和C重合，不能組成三角形POC，
∴m=3舍去，
∴P（5，-5）；
③當(dāng)PC=OP時(shí)，m²（m-3）²=m²+m²（m-4）²，
解得：m=4，
∴P（4，0），
答：存在，P的坐標(biāo)是（3-

2

，1+2

2

）或（3+

2

，1-2

2

）或（5，-5）或（4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，（3）小題有一定的難度．