Question

【題目】如圖，CB=CA，∠ACB=90°，點(diǎn)D在邊BC上（與B、C不重合），四邊形ADEF為正方形，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接FB，交DE于點(diǎn)Q，給出以下結(jié)論：

①AC=FG； ②S△FAB：S四邊形CBFG=1：2；
③∠ABC=∠ABF； ④AD2=FQAC，
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】①∵四邊形ADEF為正方形，
∴AD=AF，∠FAD=90°，
∴∠FAG+∠CAD=90°，
又∵FG⊥CA，
∴∠FGA=90°，
∴∠FAG+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△AGF和△DCA中，
∵，
∴△AGF≌△DCA（AAS），
∴FG=CA.
故①正確.
②∵BC=AC，F(xiàn)G=CA，
∴BC=FG，
又∵FG⊥CA，∠ACB=90°，
∴FG∥BC，
∴四邊形BCGF是平行四邊形，
又∵∠ACB=90°，
∴平行四邊形BCGF是矩形，
∴∠CBF=90°，
∴S△FAB=BFBC，
S四邊形CBFG=BFBC，
∴S△FAB：S四邊形CBFG=1：2；
故②正確.
③∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠BAC=∠CBA=45°，
∴∠FBA=45°，
故③正確.
④∵∠ADE=∠CBF=90°，
∴∠ADC+∠BDQ=90°，
∠BQD+∠BDQ=90°，
∴∠ADC=∠BQD，
又∵∠FQE=∠BQD，
∴∠ADC=∠FQE，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：FE=AD：FQ，
又∵FE=AD，
∴AD2=FQAC，
故④正確.
所以答案是：D．

【考點(diǎn)精析】利用正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．