Question

10．如圖，拋物線y=-$\frac{5}{4}$x²+$\frac{17}{4}$x+1與y軸交于A點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（3，0）
（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長(zhǎng)度為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）當(dāng)線段MN最長(zhǎng)時(shí)，求出△ABN的面積；
（4）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況），連接CM、BN．當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？問(wèn)對(duì)于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，得到s與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出MN的最大值，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；
（4）根據(jù)平行四邊形的判定和菱形的判定定理解答．

解答 解：（1）x=0時(shí)，y=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（0，1），
∵BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（3，0），
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，
當(dāng)x=3時(shí)，y=$\frac{5}{2}$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，$\frac{5}{2}$），
設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{3k+b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
則直線AB的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x+1；
（2）當(dāng)x=t時(shí)，y=$\frac{1}{2}$t+1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{2}$t+1），
當(dāng)x=t時(shí)，y=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{17}{4}$t+1，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{17}{4}$t+1），
s=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{17}{4}$t+1-（$\frac{1}{2}$t+1）=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t（0≤t≤3）；
（3）s=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t=-$\frac{5}{4}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{45}{16}$，
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，MN有最大值$\frac{45}{16}$，
△ABN的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{45}{16}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{45}{16}$=$\frac{135}{32}$；
（4）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，
∴-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t=$\frac{5}{2}$，
解得t₁=1，t₂=2，
∴當(dāng)t=1或2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形，
①當(dāng)t=1時(shí)，MP=$\frac{3}{2}$，PC=2，
∴MC=$\frac{5}{2}$=MN，此時(shí)四邊形BCMN為菱形，
②當(dāng)t=2時(shí)，MP=2，PC=1，
∴MC=$\sqrt{5}$≠M(fèi)N，此時(shí)四邊形BCMN不是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、菱形的判定，正確求出二次函數(shù)的解析式、利用配方法把一般式化為頂點(diǎn)式、求出函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，注意菱形的判定定理的靈活運(yùn)用．