Question

【題目】如圖，PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D．若PA、PB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的兩個(gè)根，求△PCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】解：∵PA、PB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的兩個(gè)根，
∴PA+PB=m，PAPB=m﹣1，
∵PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，
∴PA=PB=，
即=m﹣1，
即m2﹣4m+4=0，
解得：m=2，
∴PA=PB=1，
∵PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，
∴AD=ED，BC=EC，
∴△PCD的周長(zhǎng)為：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2．
【解析】由PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可得PA=PB，又由PA、PB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可求得PA與PB的長(zhǎng)，又由CD切⊙O于點(diǎn)E，即可得△PCD的周長(zhǎng)等于PA+PB．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．