【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,點P為BC邊上的一個動點(不與點B,C重合).點P關(guān)于直線AC,AB的對稱點分別為M,N,連接MN交AC于點E,交AB于點F.
(1)當點P為線段BC的中點時,求∠M的正切值.
(2)當點P在線段BC上運動時(不與B,C重合),連接AM,AN,求證:
①△AMN為等腰直角三角形;
②△AEF∽△BAM.
【答案】(1);(2)①見解析;②見解析.
【解析】
(1)連接NB,根據(jù)對稱的性質(zhì)可證明BP=BN,進而證明∠MBN=90°,根據(jù)P為中點可證明MC=CP=PB=NB=1,求出∠M的正切值即可;(2)①如圖:連接AP,根據(jù)對稱性質(zhì)可知AP=AM=AN,∠1=∠2,∠3=∠4,由∠CAB=∠2+∠3=45°證明∠MAN=90即可;②由∠AEF=∠5+∠1=45°+∠1,∠BAM=∠EAF+∠1=45°+∠1,可知∠AEF=∠BAM,再根據(jù)∠B==∠EAF=45°,即可證明△AEF∽△BAM.
(1)連接NB.
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
∴△ACB為等腰直角三角形,
∴∠A=∠CBA=45°.
∵點P關(guān)于直線AB的對稱點為N,關(guān)于直線AC的對稱點為M,
∴AB垂直PN,BN=BP,
∴∠NBA=∠PBA=45°,
∴∠PBN=90°,
∵P為BC的中點,BC=2,∴MC=CP=PB=NB=1,
∴tan ∠M=.
(2)①連接AP,如圖.
∵點P關(guān)于直線AC,AB的對稱點分別為M,N,
∴AP=AM=AN,∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠CAB=∠2+∠3=45°,
∴∠MAN=90°,
∴△AMN為等腰直角三角形.
②∵△AMN為等腰直角三角形,
∴∠5=∠6=45°,
∴∠AEF=∠5+∠1=45°+∠1,
∵∠EAF=45°,
∴∠BAM=∠EAF+∠1=45°+∠1,
∴∠AEF=∠BAM,
又∵∠B=∠BAC=45°,
∴△AEF∽△BAM.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,點D是BC的中點,點E是邊AB上一動點,沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于點F.若△AB′F為直角三角形,則AE的長為__________.
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【題目】已知如圖,是腰長為的等腰直角三角形,要求在其內(nèi)部作出一個半圓,直徑在的邊上,且半圓的弧與的其他兩邊相切,則該半圓的半徑是________(結(jié)果保留根號).
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【題目】在《朗讀者》節(jié)目的影響下,某中學開展了“好書伴我成長”讀書活動.為了解5月份八年級300名學生的讀書情況,隨機調(diào)查了八年級50名學生讀書的冊數(shù),統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
冊數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
人數(shù) | 3 | 13 | 16 | 17 | 1 |
關(guān)于這組數(shù)據(jù),下列說法正確的是 ( )
A. 中位數(shù)是2 B. 眾數(shù)是17 C. 平均數(shù)是3 D. 方差是2
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【題目】在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中,△AOB的頂點均在格點上.
(1)B點關(guān)于y軸的對稱點坐標為 ;
(2)將△AOB向左平移3個單位長度,再向上平移2個單位長度得到△A1O1B1,請畫出△A1O1B1;
(3)在(2)的條件下,△AOB邊AB上有一點P的坐標為(a,b),則平移后對應(yīng)點P1的坐標為 .
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【題目】如圖所示.在△ABC中,∠BAC=106°,EF、MN分別是AB、AC的中垂線,E、N在BC上,則∠EAN=( 。
A. 58° B. 32° C. 36° D. 34°
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【題目】已知點A,B分別在反比例函數(shù)y= (x>0),y=- (x>0)的圖象上且OA⊥OB,則 為( 。
A. B. C. D.
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【題目】有一三角形紙片ABC,∠A=70°,點D是AC邊上一點,沿BD方向剪開三角形紙片后,發(fā)現(xiàn)所得兩個紙片均為等腰三角形,則∠C的度數(shù)可以是_____.
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【題目】已知二次函數(shù).
若,,且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,求的值;
若,,,且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,求證:;
若,,且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,試問當自變量時,二次函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值是否大于?請證明你的結(jié)論.
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