Question

【題目】閱讀下列材料，并解決后面的問(wèn)題．

材料：對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Npler，1550-1617年），納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書(shū)寫(xiě)方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Evler，1707-1783）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系．我們知道，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘記為，如，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為，即．

一般地，若（且，），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為，即．如，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為，即．

（1）計(jì)算下列各對(duì)數(shù)的值：________，________，________；

（2）通過(guò)觀察（1）中三數(shù)、、之間滿足的關(guān)系式是________；

（3）拓展延伸；下面這個(gè)一般性的結(jié)論成立嗎？我們來(lái)證明

（且，，）

證明：設(shè)，，

由對(duì)數(shù)的定義得：，，

∴，

∴，

又∵，，

∴（且，，）.

（4）仿照（3）的證明，你能證明下面的一般性結(jié)論嗎？

（且，，）.

（5）計(jì)算：的值為________________.

Answer 1

【答案】(1) 2，4，6;(2) +=;(4)證明見(jiàn)詳解；（5）1

【解析】

（1）根據(jù)題意可以把指數(shù)式、、 可計(jì)算相應(yīng)對(duì)數(shù)的值；

（2）由2+4=6，，，可得+=；

（4）設(shè)=m，=n，則M=，N=，得出= ，由對(duì)數(shù)的定義得m-n=，即可證明結(jié)論；

（5）根據(jù)得出的對(duì)數(shù)的性質(zhì)，得=，再進(jìn)行計(jì)算即可解答本題.

解：（1）∵

∴

∵

∴

∵

∴

故答案填 :2，4，6

（2）∵2+4=6，，，

∴+=

故答案填：+=

（4）設(shè)，，則，

，

由對(duì)數(shù)的定義得

又

∴

（5）原式=

=

=1

故答案填:1