【題目】如圖是一個量角器和一個含30°角的直角三角板放置在一起的示意圖,其中點B在半圓O的直徑DE的延長線上,AB切半圓O于點F,且BC=OE.

(1)求證:DECF;

(2)當OE=2時,若以O,B,F(xiàn)為頂點的三角形與ABC相似,求OB的長;

(3)若OE=2,移動三角板ABC且使AB邊始終與半圓O相切,直角頂點B在直徑DE的延長線上移動,求出點B移動的最大距離.

【答案】1)證明見解析(2或4(3)3

【解析】

試題分析:(1)先作輔助線,連接OF,證明四邊形OBCF是平行四邊形,得出DECF

(2)利用相似比求OB的長,

(3)由題意得到點B所在的兩個極值位置,求出點B移動的最大距離.

(1)證明:連接OF,

AB切半圓O于點F,OF是半徑,

∴∠OFB=90°,

∵∠ABC=90°,

∴∠OFB=ABC

OFBC,

BC=OE,OE=OF,

BC=OF,

四邊形OBCF是平行四邊形,

DECF;

(2)解:若OBF∽△ACB,

=

OB=,

∵∠A=30°ABC=90°,BC=OE=2,

AC=4,AB=2

OF=OE=2,

OB==;

BOF∽△ACB

=,

OB=

OB==4;

綜上,OB=或4;

(3)解:畫出移動過程中的兩個極值圖,

由圖知:點B移動的最大距離是線段BE的長,

∵∠A=30°∴∠ABO=30°,BO=4,BE=2

點B移動的最大距離是線段BE的長為2.

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