Question

如圖，在矩形ABCD中，對角線BD在x軸上，A點在y軸上，且A（0，4），!B（2，0），經(jīng)過C點的雙曲線y=

k

x

（k＞0）與AD的延長線交于E點，直線EC與y軸交于點F，則△AEF的面積為（　�。�

• A、45
• B、60
• C、75
• D、90

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：作CG⊥BD于點G，則△CDG≌△ABO，DG=OB=2，CG=OA=4，即C的縱坐標(biāo)是-4，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得OD的長，進(jìn)而求得OG，則C的坐標(biāo)即可求得，利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，然后利用待定系數(shù)法求得AD的解析式，則E的坐標(biāo)即可求解，然后利用待定系數(shù)法求得EC的解析式，進(jìn)而求得F的坐標(biāo)，則AF的長可以求得，利用三角形的面積公式求解．

解答：解：作CG⊥BD于點G，則△CDG≌△ABO，DG=OB=2，CG=OA=4，即C的縱坐標(biāo)是-4．
∵矩形ABCD中，∠DAB=90°，
又∵OA⊥BD，
∴△AOD∽△BOA，
∴

OD

OA

=

OA

OB

=

4

2

=2，
∴OD=2OA=8，
∴OG=OD-DG=8-2=6，
∴C的坐標(biāo)是（-6，-4）．
設(shè)反比例函數(shù)的解析式是y=

k

x

，則把C（-6，-4）代入得：k=24，
則函數(shù)的解析式是y=

24

x

．
設(shè)直線AD的解析式是y=mx+n，則

n=4 -8m+n=0

，
解得：

n=4 m= 1 2

，
則直線AD的解析式是：y=

1

2

x+4．
解方程組

y= 1 2 x+4 y= 24 x

，
解得：

x=-12 y=-2

或

x=8 y=3

（舍去）．
則E的坐標(biāo)是（-12，-2）．
設(shè)EC的解析式是y=ax+b，則

-12a+b=-2 -6a+b=-4

，
解得：

a=- 1 3 b=-6

，
則直線EC的解析式是y=-

1

3

x-6．
令x=0，解得：y=-6，
則F的坐標(biāo)是（0，-6）．
則EF=4+6=10，
則S_△AEF=

1

2

×10×12=60．
故選B．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確求得點C的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．