Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，拋物線的對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其對(duì)稱軸：

（2）點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，，，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；x=2；（2）；（3）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【解析】

（1）將點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入即可得出拋物線解析式，再根據(jù)求對(duì)稱軸公式求對(duì)稱軸即可；

（2）先根據(jù)直線解析式以及拋物線解析式求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，得出，再根據(jù)可得出，從而確定點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）通過(guò)分析當(dāng)CP為正方形的邊且M位于直線下方拋物線上時(shí)可得出以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，畫出示意圖，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求解即可．

解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)，，

∴解得

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線．

（2）∵拋物線與軸交于點(diǎn)，

∴當(dāng)時(shí)，．

∴．

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為．

把，代入，得解得

∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．

當(dāng)時(shí)，，∴．

∵，

∴，．

在中，，

∴．

∴．

在中，，

∴．

∴，即．

∴．

∴．

（3）存在，，理由如下：

若以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，則相鄰的兩邊垂直且相等．

當(dāng)CP為對(duì)角線時(shí)，則需，不存在符合條件的Q點(diǎn)；

當(dāng)CP為對(duì)角線，CM為邊時(shí)，若點(diǎn)M位于直線AC上方拋物線上時(shí)，同理需要，不存在符合條件的Q點(diǎn)；

點(diǎn)M位于直線AC下方拋物線上時(shí)，即點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形．

過(guò)點(diǎn)B作，

∵

∴

∴

∵以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形

∴，關(guān)于BC對(duì)稱

過(guò)點(diǎn)D作

∴

∵直線AC的解析式為

∴當(dāng)時(shí)，

∴

∴