【題目】綜合與探究
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),,拋物線的對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn),交軸于點(diǎn),交直線于點(diǎn).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其對(duì)稱軸:
(2)點(diǎn)是線段上一點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn),是否存在這樣的點(diǎn),,,使得以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);x=2;(2);(3)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【解析】
(1)將點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入即可得出拋物線解析式,再根據(jù)求對(duì)稱軸公式求對(duì)稱軸即可;
(2)先根據(jù)直線解析式以及拋物線解析式求出點(diǎn)F的坐標(biāo),得出,再根據(jù)可得出,從而確定點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)通過(guò)分析當(dāng)CP為正方形的邊且M位于直線下方拋物線上時(shí)可得出以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,畫出示意圖,再根據(jù)正方形的性質(zhì)求解即可.
解:(1)∵拋物線經(jīng)過(guò),,
∴解得
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線.
(2)∵拋物線與軸交于點(diǎn),
∴當(dāng)時(shí),.
∴.
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為.
把,代入,得解得
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為.
當(dāng)時(shí),,∴.
∵,
∴,.
在中,,
∴.
∴.
在中,,
∴.
∴,即.
∴.
∴.
(3)存在,,理由如下:
若以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,則相鄰的兩邊垂直且相等.
當(dāng)CP為對(duì)角線時(shí),則需,不存在符合條件的Q點(diǎn);
當(dāng)CP為對(duì)角線,CM為邊時(shí),若點(diǎn)M位于直線AC上方拋物線上時(shí),同理需要,不存在符合條件的Q點(diǎn);
點(diǎn)M位于直線AC下方拋物線上時(shí),即點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí),存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的四邊形是正方形.
過(guò)點(diǎn)B作,
∵
∴
∴
∵以,,,為頂點(diǎn)的四邊形是正方形
∴,關(guān)于BC對(duì)稱
過(guò)點(diǎn)D作
∴
∵直線AC的解析式為
∴當(dāng)時(shí),
∴
∴
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,平分,交于點(diǎn),平分,交于點(diǎn),與交于點(diǎn),連接,.
(1)求證:四邊形是菱形;
(2)若,,,求的值.
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【題目】已知一次函數(shù)y=﹣x+m和y=2x+n的圖象都經(jīng)過(guò)A(﹣4,0),且與y軸分別交于B、C兩點(diǎn),則△ABC的面積為( 。
A.48B.36C.24D.18
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【題目】如圖,一次函數(shù)y1=x+4的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象交于A(﹣1,a),B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C.
(1)求k.
(2)根據(jù)圖象直接寫出y1>y2時(shí),x的取值范圍.
(3)若反比例函數(shù)y2=與一次函數(shù)y1=x+4的圖象總有交點(diǎn),求k的取值.
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【題目】如圖,點(diǎn),,點(diǎn)是軸上點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn),以,為兩邊的菱形的頂點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖象上.
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn),連接,,求的面積:
(3)當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫出的取值范圍.
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【題目】如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠B=75°,以C為旋轉(zhuǎn)中心將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)B落在AB上點(diǎn)D處時(shí),點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,則陰影部分面積為_____.
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【題目】如圖所示,在中,以的中點(diǎn)為圓心,作半圓與相切,點(diǎn)分別是半圓和邊上的動(dòng)點(diǎn),連接則的最大值與最小值的和是( )
A.B.C.D.
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【題目】上周六上午點(diǎn),小穎同爸爸媽媽一起從西安出發(fā)回安康看望姥姥,途中他們?cè)谝粋(gè)服務(wù)區(qū)休息了半小時(shí),然后直達(dá)姥姥家,如圖,是小穎一家這次行程中距姥姥家的距離(千米)與他們路途所用的時(shí)間(時(shí))之間的函數(shù)圖象,請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
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A.B.C.D.
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