Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且過點(diǎn)．

（1）直接寫出a的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）將拋物線向右平移2個(gè)單位長度，所得的新拋物線與x軸交于M，N兩點(diǎn)，兩拋物線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)M到直線PB的距離；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)D為直線BP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D，使得？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）D點(diǎn)坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）將點(diǎn)（－2，4）代入y＝a（x＋5）（x3）即可求出a，根據(jù)拋物線解析式可直接得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）作于點(diǎn)C，連接MP，首先求出平移后的新拋物線解析式，得到點(diǎn)M、P的坐標(biāo)，然后求出BP，利用S△PMB＝×PB×MC＝×MB×OP，即可求解；

（3）作BE平分交OP于E，作于F，根據(jù)求出，然后在中，可得，然后分情況討論：①點(diǎn)D在x軸上方，設(shè)AD交y軸于點(diǎn)H，根據(jù)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，然后求得直線PB與直線AH的解析式，聯(lián)立即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，②點(diǎn)D在x軸下方，設(shè)AD交y軸于點(diǎn)K，同理可求點(diǎn)D的另一個(gè)坐標(biāo)．

解：（1）將點(diǎn)代入得：，

解得：，

∵拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），

∴；

（2）作于點(diǎn)C，連接MP，

由題意得：將點(diǎn)向右平移2個(gè)單位得到點(diǎn)M為，

原拋物線解析式為，

則新拋物線解析式為，

聯(lián)立，解得：，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

∵，，

∴，，，

∴，

∵S△PMB＝×PB×MC＝×MB×OP，

∴，

即點(diǎn)M到直線PB的距離為；

（3）存在符合題意的點(diǎn)D為或，

作BE平分交OP于E，作于F，

∵，

∴，

∵，

∴，

解得：，

∴在中，，

分兩種情況：

①如圖，點(diǎn)D在x軸上方，設(shè)AD交y軸于點(diǎn)H，

∵，

∴，即

∴，

∴點(diǎn)H坐標(biāo)為，

設(shè)直線PB的解析式為，

代入和得：，解得：，

∴直線PB的解析式為，

設(shè)直線AH的解析式為，

代入和得：，解得：，

∴直線AH的解析式為，

聯(lián)立，得，

∴直線AH與直線BP的交點(diǎn)坐標(biāo)為；

②如圖，點(diǎn)D在x軸下方，設(shè)AD交y軸于點(diǎn)K，

同①的方法可求得點(diǎn)D坐標(biāo)為，

綜上所述，存在滿足題目條件的D點(diǎn)坐標(biāo)為或．