【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=4cm,∠BAC=90°.動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng),它們的速度都是1cm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,四邊形APQC的面積為ycm2 .
(1)當(dāng)t為何值時(shí),△PBQ是直角三角形?
(2)①求y與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
②當(dāng)t為何值時(shí),y取得最小值?最小值為多少?
(3)設(shè)PQ的長為xcm,試求y與x的函數(shù)關(guān)系式.
【答案】(1)當(dāng)t=或時(shí),△PBQ是直角三角形;(2)①y=8-(0≤t≤4),②當(dāng)t=2時(shí),y取得最小值,最小值是;(3)y.
【解析】
試題(1)分∠PQB=90°和∠QPB=90°兩種情況討論即可;
(2)根據(jù)三角形的面積公式列式y=S△ABC-S△BPQ即得函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)二次函數(shù)最值原理即可得出y取得最小值時(shí)t的值和y的最小值;
(3)把t2-4 t=代入y=8-化簡即可.
試題解析:(1)當(dāng)t=或時(shí),△PBQ是直角三角形,理由如下:
∵BQ=AP=t, BP=4-t,
∴①當(dāng)∠PQB=90°時(shí),由得:t =4-t,解得:t=;
②當(dāng)∠QPB=90°時(shí),由得:,解得:t=.
∴當(dāng)t=或時(shí),△PBQ是直角三角形.
(2)①過P作PH⊥BC,在Rt△PHB中,BP=4-t,PH=,
∴S△BPQ=,
∴y=S△ABC-S△BPQ=8-.
由題意可知:0≤t≤4.
②y=8-=,
∴當(dāng)t=2時(shí),y取得最小值,最小值是.
(3)在Rt△PQH中,PH=(4-t),HQ=(4-t)-t,
由PQ2= PH2+HQ2,則x2=〔(4-t)〕2+〔(4-t)-t〕2
化簡得:x2=(2+)t 2-4(2+)t+16,∴ t2-4 t=.
將t2-4t=代入y=8-,得y=8+·.
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【題目】如圖,已知點(diǎn)A(1,-1),B(2,3),點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn),當(dāng)|PA-PB|的值最大時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A.(-1,0)B.(,0)C.(,0)D.(1,0)
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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=16,AD⊥BC,垂足為D,∠ACB的平分線交AD于點(diǎn)E,則AE的長為( )
A.B.4C.D.6
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【題目】若a+b=2,則稱a與b是關(guān)于1的平衡數(shù).
(1)3與 是關(guān)于1的平衡數(shù),5﹣ 與 是關(guān)于1的平衡數(shù);
(2)若(m+)×(1﹣)=﹣5+3,判斷m+與5﹣是否是關(guān)于1的平衡數(shù),并說明理由.
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【題目】音樂噴泉(圖1)可以使噴水造型隨音樂的節(jié)奏起伏變化而變化.某種音樂噴泉形狀如拋物線,設(shè)其出水口為原點(diǎn),出水口離岸邊18m,音樂變化時(shí),拋物線的頂點(diǎn)在直線y=kx上變動(dòng),從而產(chǎn)生一組不同的拋物線(圖2),這組拋物線的統(tǒng)一形式為y=ax2+bx.
(1)若已知k=1,且噴出的拋物線水線最大高度達(dá)3m,求此時(shí)a、b的值;
(2)若k=1,噴出的水恰好達(dá)到岸邊,則此時(shí)噴出的拋物線水線最大高度是多少米?
(3)若k=3,a=﹣,則噴出的拋物線水線能否達(dá)到岸邊?
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【題目】如圖,在菱形紙片ABCD中, ,將菱形紙片翻折,使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處,折痕為FG,點(diǎn)分別在邊上,則的值為______ .
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【題目】如圖,某消防隊(duì)在一居民樓前進(jìn)行演習(xí),消防員利用云梯成功救出點(diǎn)B處的求救者后,又發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B正上方點(diǎn)C處還有一名求救者.在消防車上點(diǎn)A處測得點(diǎn)B和點(diǎn)C的仰角分別是45°和65°,點(diǎn)A距地面2.5米,點(diǎn)B距地面10.5米.為救出點(diǎn)C處的求救者,云梯需要繼續(xù)上升的高度BC約為多少米?(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,≈1.4)
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【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,AB=2,AD和BE是圓O的兩條切線,A、B為切點(diǎn),過圓上一點(diǎn)C作⊙O的切線CF,分別交AD、BE于點(diǎn)M、N,連接AC、CB,若∠ABC=30°,則AM= .
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【題目】如圖,已知△ABC是等邊三角形.
(1)如圖(1),點(diǎn)E在線段AB上,點(diǎn)D在射線CB上,且ED=EC.將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF,連接EF.猜想線段AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)點(diǎn)E在線段BA的延長線上,其它條件與(1)中一致,請?jiān)趫D(2)的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整,并猜想線段AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)請選擇(1)或(2)中的一個(gè)猜想進(jìn)行證明.
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