【題目】如圖,△ABC內接于⊙O,CD是⊙O的直徑,AB與CD交于點E,點P是CD延長線上的一點,AP=AC,且∠B=2∠P.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若PD=,求⊙O的直徑;
(3)在(2)的條件下,若點B等分半圓CD,求DE的長.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3);
【解析】
(1)連接OA、AD,如圖,利用圓周角定理得到∠B=∠ADC,則可證明∠ADC=2
∠ACP,利用CD為直徑得到∠DAC=90°,從而得到∠ADC=60°,∠C=30°,則∠AOP=60°,
于是可證明∠OAP=90°,然后根據切線的判斷定理得到結論;
(2)利用∠P=30°得到OP=2OA,則,從而得到⊙O的直徑;
(3)作EH⊥AD于H,如圖,由點B等分半圓CD得到∠BAC=45°,則∠DAE=45°,設
DH=x,則DE=2x,所以 然后求出x即可
得到DE的長.
(1)證明:連接OA、AD,如圖,
∵∠B=2∠P,∠B=∠ADC,
∴∠ADC=2∠P,
∵AP=AC,
∴∠P=∠ACP,
∴∠ADC=2∠ACP,
∵CD為直徑,
∴∠DAC=90°,
∴∠ADC=60°,∠C=30°,
∴△ADO為等邊三角形,
∴∠AOP=60°,
而∠P=∠ACP=30°,
∴∠OAP=90°,
∴OA⊥PA,
∴PA是⊙O的切線;
(2)解:在Rt△OAP中,∵∠P=30°,
∴OP=2OA,
∴
∴⊙O的直徑為;
(3)解:作EH⊥AD于H,如圖,
∵點B等分半圓CD,
∴∠BAC=45°,
∴∠DAE=45°,
設DH=x,
在Rt△DHE中,DE=2x,
在Rt△AHE中,
∴
即
解得
∴
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【題目】閱讀下面材料,然后解答問題:
在平面直角坐標系中,以任意兩點P(x1,y1),Q(x2,y2)為端點的線段的中點坐標為(,).如圖,在平面直角坐標系xOy中,雙曲線y=(x<0)和y=(x>0)的圖象關于y軸對稱,直線y=與兩個圖象分別交于A(a,1),B(1,b)兩點,點C為線段AB的中點,連接OC、OB.
(1)求a、b、k的值及點C的坐標;
(2)若在坐標平面上有一點D,使得以O、C、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形,請求出點D的坐標.
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【題目】下表中有兩種移動電話計費方式.
月使用費元 | 主叫限定時間 | 主叫超時費 | 被叫 | |
方式一 | 49 | 100 | 免費 | |
方式二 | 69 | 150 | 免費 |
設一個月內主叫通話為t分鐘是正整數.
當時,按方式一計費為______元;按方式二計費為______元;
當時,是否存在某一時間t,使兩種計費方式相等,若存在,請求出對應t的值,若不存在,請說明理由;
當時,請直接寫出省錢的計費方式?
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,點D,F分別是AC,AB的中點,CE∥DB,BE∥DC.
(1)求證:四邊形DBEC是菱形;
(2)若AD=3,DF=1,求四邊形DBEC面積.
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【題目】(2013年浙江義烏3分)如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(1,0),頂點坐標為(1,n),與y軸的交點在(0,2)、(0,3)之間(包含端點),則下列結論:
①當x>3時,y<0;②3a+b>0;③;④3≤n≤4中,
正確的是( )
A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ①③
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【題目】如圖,在平面直角坐標中,直線l經過原點,且與y軸正半軸所夾的銳角為60°,過點A(0,1)作y軸的垂線l于點B,過點B1作作直線l的垂線交y軸于點A1,以A1B.BA為鄰邊作ABA1C1;過點A1作y軸的垂線交直線l于點B1,過點B1作直線l的垂線交y軸于點A2,以A2B1.B1A1為鄰邊作A1B1A2C2;…;按此作法繼續(xù)下去,則Cn的坐標是 .
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【題目】已知反比例函數y=的圖象的一支位于第一象限,點A(x1,y1),B(x2,y2)都在該函數的圖象上.
(1)m的取值范圍是 ,函數圖象的另一支位于第一象限,若x1>x2,y1>y2,則點B在第 象限;
(2)如圖,O為坐標原點,點A在該反比例函數位于第一象限的圖象上,點C與點A關于x軸對稱,若△OAC的面積為6,求m的值.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4,對角線AC、BD相交于點O,現將一個直角三角板OEF的直角頂點與O重合,再繞著O點轉動三角板,并過點D作DH⊥OF于點H,連接AH.在轉動的過程中,AH的最小值為_____.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD交于O,EF過點O與AD,BC分別交于E,F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,則四邊形EFCD的周長_____.
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