【題目】如圖,矩形ABCD,AB=2,BC=10,點E為AD上一點,且AE=AB,點F從點E出發(fā),向終點D運動,速度為1cm/s,以BF為斜邊在BF上方作等腰直角△BFG,以BG,BF為鄰邊作BFHG,連接AG.設點F的運動時間為t秒.
(1)試說明:△ABG∽△EBF;
(2)當點H落在直線CD上時,求t 的值;
(3)點F從E運動到D的過程中,直接寫出HC的最小值.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)HC最小值是
【解析】
(1)根據兩邊成比例夾角相等即可證明兩三角形相似;
(2)構建如圖2平面直角坐標系,作HM⊥AD于M,GN⊥AD于N.設AM交BG于K.首先證明△GFN≌△FHM,想辦法求出點H的坐標,構建方程即可解決問題;
(3)由(2)可知H(2t,4t),令x=2t,y=4t,消去t得到y.推出點H在直線y上運動,根據垂線段最短即可解決問題.
(1)如圖1.
∵△ABE,△BGF都是等腰直角三角形,∴.
∵∠ABE=∠GBF=45°,∴∠ABG=∠EBF,∴△ABG∽△EBF.
(2)如圖2構建如圖平面直角坐標系,作HM⊥AD于M,GN⊥AD于N.設AM交BG于K.
∵△GFH是等腰直角三角形,∴FG=FH,∠GNF=∠GFH=∠HMF=90°,∴∠GFN+∠HFM=90°,∠HFM+∠FHM=90°,∴∠GFN=∠FHM,∴△GFN≌△FHM,∴GN=FM,FN=HM.
∵△ABG∽△EBF,∴,∠AGB=∠EFB.
∵∠AKG=∠BKF,∴∠GAN=∠KBF=45°.
∵EF=t,∴AGt,∴AN=GN=FMt,∴AM=2t,HM=FN=2t,∴H(2t,4t),當點H在直線CD上時,2t=10,解得:t.
(3)由(2)可知H(2t,4t),令x=2t,y=4t,消去t得到y,∴點H在直線y上運動,如圖3,作CH垂直直線y垂足為H.
根據垂線段最短可知,此時CH的長最小,易知直線CH的解析式為y=﹣3x+30,由,解得:,∴H(8,6).
∵C(10,0),∴CH,∴HC最小值是2.
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【題目】如圖,已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O,∠B的平分線BE交AC于D,交⊙O于E,過E作EF∥AC交BA的延長線于F.
(1)求證:EF是⊙O切線;
(2)若AB=15,EF=10,求AE的長.
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【題目】綠色生態(tài)農場生產并銷售某種有機產品,假設生產出的產品能全部售出.如圖,線段EF、折線ABCD分別表示該有機產品每千克的銷售價y1(元)、生產成本y2(元)與產量x(kg)之間的函數關系.
(1)求該產品銷售價y1(元)與產量x(kg)之間的函數關系式;
(2)直接寫出生產成本y2(元)與產量x(kg)之間的函數關系式;
(3)當產量為多少時,這種產品獲得的利潤最大?最大利潤為多少?
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【題目】2015年2月27日,在中央全面深化改革領導小組第十次會議上,審議通過了《中國足球改革總體方案》,體制改革、聯(lián)賽改革、校園足球等成為改革的亮點.在聯(lián)賽方面,作為國內最高水平的聯(lián)賽﹣﹣中國足球超級聯(lián)賽今年已經進入第12個年頭,中超聯(lián)賽已經引起了世界的關注.圖9是某一年截止倒數第二輪比賽各隊的積分統(tǒng)計圖.
(1)根據圖,請計算該年有_____支中超球隊參賽;
(2)補全圖一中的條形統(tǒng)計圖;
(3)根據足球比賽規(guī)則,勝一場得3分,平一場得1分,負一場得0分,最后得分最高者為冠軍.倒數第二輪比賽后積分位于前4名的分別是A隊49分,B隊49分,C隊48分,D隊45分.在最后一輪的比賽中,他們分別和第4名以后的球隊進行比賽,已知在已經結束的一場比賽中,A隊和對手打平.請用列表或者畫樹狀圖的方法,計算C隊奪得冠軍的概率是多少?
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【題目】某校為了開闊學生的視野,積極組織學生參加課外讀書活動.“放飛夢想”讀書小組協(xié)助老師隨機抽取本校的部分學生,調查他們最喜愛的圖書類別(圖書分為文學類、藝體類、科普類、其他等四類),并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你結合圖中的信息解答下列問題:
(1)求被調查的學生人數;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)已知該校有1200名學生,估計全校最喜愛文學類圖書的學生有多少人?
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【題目】把分別標有數字2、3、4、5的四個小球放入A袋內,把分別標有數字的五個小球放入B袋內,所有小球的形狀、大小、質地完全相同,A、B兩個袋子不透明。
(1)小明分別從A、B兩個袋子中各摸出一個小球,求這兩個小球上的數字互為倒數的概率;
(2)當B袋中標有的小球上的數字變?yōu)?/span> 時(填寫所有結果),(1)中的概率為。
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【題目】某校計劃組織學生到市影劇院觀看大型感恩歌舞劇,為了解學生如何去影劇院的問題,學校隨機抽取部分學生進行調查,并將調查結果制成了表格、條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖(均不完整).
(1)此次共調查了多少位學生?
(2)將表格填充完整;
步行 | 騎自行車 | 坐公共汽車 | 其他 |
50 |
(3)將條形統(tǒng)計圖補充完整.
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【題目】已知,四邊形ABCD中,E是對角線AC上一點,DE=EC,以AE為直徑的⊙O與邊CD相切于點D,點B在⊙O上,連接OB.
(1)求證:DE=OE;
(2)若CD∥AB,求證:BC是⊙O的切線;
(3)在(2)的條件下,求證:四邊形ABCD是菱形.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數y= (n≠0)的圖象交于第二、四象限內的A、B兩點,與x軸交于點C,點B 坐標為(m,﹣1),AD⊥x軸,且AD=3,tan∠AOD=.
(1)求該反比例函數和一次函數的解析式;
(2)求△AOB的面積;
(3)點E是x軸上一點,且△AOE是等腰三角形,請直接寫出所有符合條件的E點的坐標.
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