【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y(x>0)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以P為圓心的圓始終與y軸相切,設(shè)切點(diǎn)為A

(1)如圖1,當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與x軸相切,設(shè)切點(diǎn)為K,試判斷四邊形OKPA的形狀,并說明理由;

(2)如圖2,當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與x軸相交,設(shè)交點(diǎn)為點(diǎn)B、C.當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí),求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);

(3)(2)的條件下,求出經(jīng)過A、BC三點(diǎn)的拋物線的解析式.

【答案】(1)四邊形OKPA是正方形,理由見解析;(2)A(0,),B(1,0),C(3,0);(3)yx2x+

【解析】

(1)先證明四邊形OKPA是矩形,又PAPK,故可得四邊形OKPA是正方形;

(2)證明△PBC為等邊三角形;在Rt△PBG中,∠PBG=60°,設(shè)PBPAa,BG,由勾股定理得:PG,所以Pa,),將P點(diǎn)坐標(biāo)代入y,求出PG,PABC=2,又四邊形OGPA是矩形,PAOG=2,BGCG=1,故OBOGBG=1,OCOG+GC=3,即可求解;

(3)設(shè)二次函數(shù)的解析式為:yax2+bx+c,(2)中三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入,利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.

(1)四邊形OKPA是正方形,

理由:∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切,

PAOA,PKOK,

∴∠PAO=∠OKP=90°,

∵∠AOK=90°,

∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°,

四邊形OKPA是矩形,

PAPK,

四邊形OKPA是正方形;

(2)連接PB,過點(diǎn)PPGBCG,

四邊形ABCP為菱形,BCPAPBPC,

∴△PBC為等邊三角形

Rt△PBG中,PBG=60°,

設(shè)PBPAa,BG,

由勾股定理得:PG,

所以P(a,),將P點(diǎn)坐標(biāo)代入y,

解得:a=2或﹣2(舍去負(fù)值),

PGPABC=2,

又四邊形OGPA是矩形,PAOG=2,BGCG=1,

OBOGBG=1,OCOG+GC=3.

A(0,),B(1,0),C(3,0);

(3)二次函數(shù)的解析式為:yax2+bx+c

根據(jù)題意得:,

解得:

二次函數(shù)的解析式為:yx2x+

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