Question

【題目】二次函數(shù)y=ax2+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，3），B（﹣2，6），點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸右側(cè)圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)G（0，﹣1）．

（1）求出點(diǎn)C坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）若以A，C，P，G為頂點(diǎn)的四邊形面積等于30時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若Q為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q平行于y軸的直線與過(guò)點(diǎn)G平行于x軸的直線交于點(diǎn)M，將△QGM沿QG翻折得到△QGN，當(dāng)點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+7，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3）；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（6，﹣2）；（3）Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，3）或（﹣4，﹣3）或（﹣，3）或（，3）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，然后利用拋物線的對(duì)稱性確定C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)P（x，﹣x2+7）（x＞0），討論：當(dāng)點(diǎn)P在AC上方時(shí)，如圖1，利用S四邊形AGCP=S△GAC+S△PAC列方程84+8（﹣x2+7﹣3）=30，當(dāng)點(diǎn)P在AC下方時(shí)，如圖2，AC與y軸交于點(diǎn)E，利用S四邊形AGPC=S△GAE+S△PEG+S△PEC列方程44+x4+4（3+x2﹣7）=30，然后分別解方程可得到對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)N落在y軸上，如圖3，利用折疊性質(zhì)得∠QNG=∠QMG=90°，QN=QM=4，易得Q點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)N落在x軸上，QM與x軸交于點(diǎn)F，如圖4，設(shè)Q（t，3）（﹣4≤t＜0），利用折疊性質(zhì)得∠QNG=∠QMG=90°，QN=QM=4，GN=GM=﹣t，由于FN=，OF=﹣t，ON=，則﹣t=，解方程得到此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)0＜t≤4，同理可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵二次函數(shù)y=ax2+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，3），B（﹣2，6），∴，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+7．

∵二次函數(shù)y=ax2+c的圖象的對(duì)稱軸為y軸，點(diǎn)A（﹣4，3），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3）．

（2）設(shè)P（x，﹣x2+7）（x＞0），當(dāng)點(diǎn)P在AC上方時(shí)，如圖1，S四邊形AGCP=S△GAC+S△PAC=84+8（﹣x2+7﹣3），∴84+8（﹣x2+7﹣3）=30，解得：x1=，x2=﹣（舍去），此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（）；

當(dāng)點(diǎn)P在AC下方時(shí)，如圖2，AC與y軸交于點(diǎn)E，S四邊形AGPC=S△GAE+S△PEG+S△PEC=44+x4+4（3+x2﹣7），∴44+x4+4（3+x2﹣7）=30，解得：x1=6，x2=﹣10（舍去），此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，﹣2）．

綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（）或（6，﹣2）；

（3）QN=3﹣（﹣1）=4，當(dāng)點(diǎn)N落在y軸上，如圖3．

∵△QGM沿QG翻折得到△QGN，∴∠QNG=∠QMG=90°，QN=QM=4，∴N點(diǎn)為AC與y軸的交點(diǎn)，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，3）或（﹣4，﹣3）；

當(dāng)點(diǎn)N落在x軸上，QM與x軸交于點(diǎn)F，如圖4，設(shè)Q（t，3）（﹣4≤t＜0）

∵△QGM沿QG翻折得到△QGN，∴∠QNG=∠QMG=90°，QN=QM=4，GN=GM=﹣t．在Rt△OFN中，FN==，而OF=﹣t，ON=﹣t=，解得：t=﹣，此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，3），當(dāng)0＜t≤4，易得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，3）．

綜上所述：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，3）或（﹣4，﹣3）或（﹣，3）或（，3）．