Question

如圖，已知：△ABC的外角∠CAG=120°，∠CAG的平分線AD與BC的延長線相交于點(diǎn)D，延長DA與．△ABC的外接圓交于點(diǎn)F，連接FB、FC，F(xiàn)C與AB相交于點(diǎn)E．
（1）寫出圖中除△EFB∽△EAC、△EAF∽△ECB以外的4對相似三角形；
（2）判斷△FBC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓中同弧所對的圓周角相等，可找到角之間的等量關(guān)系，從而根據(jù)兩組角對應(yīng)相等兩三角形相似進(jìn)行證明；
（2）△FBC為等邊三角形，欲證等邊三角形，需根據(jù)題中條件去證明三個(gè)內(nèi)角均為60°即可．
解答：解：（1）∵∠AFC+∠D=60°，∠AFC+∠ACF=60°，
∴∠FCA=∠D．
∵∠AFC=∠CFD，
∴△FAC∽△FCD．
∵∠BAC=∠BCF=60°，∠ABC=∠CBE，
∴△BAC∽△BCE．
∵∠FAE=∠BCE，∠FEA=∠BEC，
∴△FEA∽△BEC，同理△EFB∽△EAC．
∴△FAE∽△BAC．
∵∠FAB=∠BFC=60°，∠FBA=∠EBF，
∴△FBA∽△EBF．
∵∠FAB=∠BAC=60°，∠FBA=∠EAC，
∴△FBA∽△ECA．
同理△DAC∽△DBF．

（2）△FBC為等邊三角形，
∵∠CAG=1 20°，∠CAG的平分線AD與BC的延長線相交于點(diǎn)D，
∴∠GAD=∠DAC=60°，∠CAB=180°-∠GAC=60°．
∴∠BFC=∠BAC=60°，∠BAF=∠GAD=60°．
∴∠BCF=∠BAF=60°．
∴∠FBC=60°．
∴△FBC為等邊三角形．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定：
①如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
②如果兩個(gè)三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等．