Question

如圖1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，現(xiàn)將△ABC補(bǔ)成矩形，使△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為矩形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，那么符合要求的矩形可以畫(huà)出兩個(gè)（即矩形ABCD和矩形AEFB，如圖2）．

解答下列問(wèn)題：
（1）設(shè)圖2中矩形ABCD和矩形AEFB的面積分別為S₁、S₂，則S₁

 

 S₂（選填＞，=或＜）；
（2）如圖3，△ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫(huà)

 

個(gè)，利用圖3把它畫(huà)出來(lái)；
（3）如圖4，△ABC是銳角三角形，三邊滿足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫(huà)

 

個(gè)，利用圖4把它畫(huà)出來(lái)；
（4）在（3）中所畫(huà)的矩形中，哪一個(gè)矩形的周長(zhǎng)最��？說(shuō)出你的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圖形的剪拼

專題：

分析：（1）易得原有三角形都等于所畫(huà)矩形的一半，那么這兩個(gè)矩形的面積相等．
（2）可仿照?qǐng)D2矩形ABFE的畫(huà)法得到矩形．由于∠C非直角，所以只有一種情況．
（3）可讓原銳角三角形的任意一邊為矩形的一邊，另一頂點(diǎn)在矩形的另一邊的對(duì)邊上，可得三種情況．
（4）根據(jù)三個(gè)矩形的面積相等，利用求差法比較三個(gè)矩形的周長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）由題意可知：矩形ACBD的面積是△ABC面積的2倍，而矩形AEFB與△ABC的底與高相同，則也是△ABC面積的2倍，所以S₁=S₂，
故答案為：=；
（2）1個(gè)，如圖所示：（3）3個(gè)，如圖所示：

（4）以AB為邊的矩形周長(zhǎng)最小，理由如下：
設(shè)矩形BCED，ACHQ，ABGF的周長(zhǎng)分別為L(zhǎng)₁，L₂，L₃，BC=a，AC=b，AB=c．易得三個(gè)矩形的面積相等，設(shè)為S，
∴L₁=

2s

a

+2a；L₂=

2s

b

+2b；L₃=

2s

c

+2c．
∵L₁-L₂=2（a-b）

ab-s

ab

，而a-b＞0，ab-s＞0，ab＞0
∴L₁-L₂＞0，
∴L₁＞L₂，同理可得L₂＞L₃
∴以AB為邊長(zhǎng)的矩形周長(zhǎng)最�。�

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了作圖與應(yīng)用作圖以及矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，根據(jù)矩形性質(zhì)得出面積關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．