Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，A（-4，0），B（0，2），直線x=2與直線AB交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且以C為頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線上位于A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，求△PAC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求出直線AB以及頂點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)式求出拋物線解析式即可．
（2）連接PD，設(shè)點(diǎn)P（m，-$\frac{1}{12}$m²+$\frac{1}{3}$m+$\frac{8}{3}$），根據(jù)S_△PAC=S_△PAD+S_△PCD-S_△ACD構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決最值問(wèn)題．

解答 解：（1）設(shè)直線AB為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB為y=$\frac{1}{2}$x+2，由題意點(diǎn)C（2，3），
設(shè)拋物線為y=a（x-2）²+3，點(diǎn)A（-4，0）代入得到a=-$\frac{1}{12}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{12}$（x-2）²+3，即y=-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{1}{3}$x+$\frac{8}{3}$．
（2）連接PD，設(shè)點(diǎn)P（m，-$\frac{1}{12}$m²+$\frac{1}{3}$m+$\frac{8}{3}$），
∴S_△PAC=S_△PAD+S_△PCD-S_△ACD=$\frac{1}{2}$•6•（-$\frac{1}{12}$m²+$\frac{1}{3}$m+$\frac{8}{3}$）+$\frac{1}{2}$•3•（2-m）-$\frac{1}{2}$•6•3=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m+2=-$\frac{1}{4}$（m+1）²+$\frac{9}{4}$．
∵a=-$\frac{1}{4}$＜0，
∴m=-1時(shí)，S_△PAC的最大值為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、一次函數(shù)、三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)分割法求三角形面積，屬于中考�？碱}型．