Question

1．已知P（-3，m）和 Q（1，m）是拋物線y=x²+bx-3上的兩點．
（1）求b的值；
（2）將拋物線y=x²+bx-3的圖象向上平移k（是正整數(shù)）個單位，使平移后的圖象與x軸無交點，求k的最小值；
（3）將拋物線y=x²+bx-3的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結(jié)合新圖象回答：當(dāng)直線y=x+n與這個新圖象有兩個公共點時，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接把點P，Q的坐標代入拋物線方程聯(lián)立方程組求解b的值；
（2）利用圖象與x軸無交點，則b²-4ac＜0，即可求出k的取值范圍，進而得出k的值．
（3）求出兩個邊界點，繼而可得出n的取值范圍．

解答 解：（1）∵P（-3，m）和 Q（1，m）是拋物線y=x²+bx-3上的兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=9-3b-3}\\{m=1+b-3}\end{array}\right.$，解得：b=2；
（2）平移后拋物線的關(guān)系式為y=x²+2x-3+k．
要使平移后圖象與x軸無交點，
則有b²-4ac=4-4（-3+k）＜0，
k＞4．
因為k是正整數(shù)，所以k的最小值為5．
（3）令x²+2x-3=0，
解之得：x₁=1，x₂=-3，
故P，Q兩點的坐標分別為A（1，0），B（-3，0）．
如圖，當(dāng)直線y=x+n（n＜1），
經(jīng)過P點時，可得n=3，
當(dāng)直線y=x+n經(jīng)過Q點時，
可得n=-1，
∴n的取值范圍為-1＜n＜3，
翻折后的二次函數(shù)解析式為二次函數(shù)y=-x²-2x+3
當(dāng)直線y=x+n與二次函數(shù)y=-x²-2x+3的圖象只有一個交點時，
x+n=-x²-2x+3，
整理得：x²+3x+n-3=0，
△=b²-4ac=9-4（n-3）=21-4n=0，
解得：n=$\frac{21}{4}$，
∴n的取值范圍為：n＞$\frac{21}{4}$，
由圖可知，符合題意的n的取值范圍為：n＞$\frac{21}{4}$或-1＜n＜3．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，關(guān)鍵是求出直線y=x+n經(jīng)過點P、Q時n的值．同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想．