Question

【題目】如圖所示，在中，，，為邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).

(1)求證：；

(2)求證：垂直平分.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解

【解析】

（1）根據(jù)ASA判定△ACD≌△CBF即可；

（2）由（1）得到BF=CD，由D為BC中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)定義得到CD=BD，等量代換得到BF=BD，再根據(jù)角度之間的數(shù)量關(guān)系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線，從而利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求證即可．

解：（1）∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF；

（2）連接DF，

由（1）得CD=BF
∵為邊上的中點(diǎn)

∴CD=BD=BC

∴BF=BD
∴△BFD為等腰直角三角形
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線．
∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)有BA⊥FD，BA平分邊FD，
即AB垂直平分DF．