【題目】已知拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過(guò)(﹣1,0),(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線y=kx與拋物線交于A,B兩點(diǎn).
(1)寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)并求出此拋物線的解析式;
(2)當(dāng)原點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)時(shí),求k的值及A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)是否存在實(shí)數(shù)k使得△ABC的面積為?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)當(dāng)原點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)時(shí),k的值為﹣2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,﹣2).(3)不存在,理由詳見(jiàn)解析.
【解析】
試題分析:(1)令x=0求出y值即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo),又有點(diǎn)(﹣1,0)、(3,0),利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可;(2)將正比例函數(shù)解析式代入拋物線解析式中,找出關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出“xA+xB=2+k,xAxB=﹣3”,結(jié)合點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)即可得出xA+xB=2+k=0,由此得出k的值,將k的值代入一元二次方程中求出xA、xB,在代入一次函數(shù)解析式中即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo);(3)假設(shè)存在,利用三角形的面積公式以及(2)中得到的“xA+xB=2+k,xAxB=﹣3”,即可得出關(guān)于k的一元二次方程,結(jié)合方程無(wú)解即可得出假設(shè)不成立,從而得出不存在滿足題意的k值.
試題解析:(1)令拋物線y=ax2+bx﹣3中x=0,則y=﹣3,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣3).
∵拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過(guò)(﹣1,0),(3,0)兩點(diǎn),
∴有,解得:,
∴此拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
(2)將y=kx代入y=x2﹣2x﹣3中得:kx=x2﹣2x﹣3,
整理得:x2﹣(2+k)x﹣3=0,
∴xA+xB=2+k,xAxB=﹣3.
∵原點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn),
∴xA+xB=2+k=0,
解得:k=﹣2.
當(dāng)k=﹣2時(shí),x2﹣(2+k)x﹣3=x2﹣3=0,
解得:xA=﹣,xB=.
∴yA=﹣2xA=2,yB=﹣2xB=2.
故當(dāng)原點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)時(shí),k的值為﹣2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,﹣2).
(3)假設(shè)存在.
由(2)可知:xA+xB=2+k,xAxB=﹣3,
S△ABC=OC|xA﹣xB|=×3×=,
∴(2+k)2﹣4×(﹣3)=10,即(2+k)2+2=0.
∵(2+k)2非負(fù),無(wú)解.
故假設(shè)不成立.
所以不存在實(shí)數(shù)k使得△ABC的面積為.
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(l)本次抽取樣本容量為_(kāi)___,扇形統(tǒng)計(jì)圖中A類所對(duì)的圓心角是____度;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該校九年級(jí)男生有300名,請(qǐng)估計(jì)該校九年級(jí)男生“引體向上”項(xiàng)目成績(jī)?yōu)镃類的有多少名?
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