Question

14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°．
（1）以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B（得到A、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、O′）（保留畫圖痕跡）
（2）求：①∠A′BC；②OA+OB+OC．

Answer 1

分析 （1）以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°即可得到△A′O′B．
（2）由旋轉(zhuǎn)不變性可知：OA+OB+OC=CO+OO′+O′A′，所以只要證明C、O、O′、A′共線，則CA′=OA+OB+OC，在RT△BCA′中利用勾股定理即可求出CA′．

解答 解：（1）如圖所示：
（2）∵△A′BO′是由△ABO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，
∴△OBO′，△ABA′是等邊三角形，A′O′=AO
∴∠BOO′=∠BO′O=60°，OB=OO，∠ABA′=60°，
∵∠BOC=∠AOB=∠BO′A′=120°，
∴∠BOC+∠BOO′=180°，∠BO′O+∠AO′B=180°，
∴C、O、O′、A′共線，
∴AO+OB+OC=CO+OO′+A′O′=CA′，
在RT△ABC中，∵∠ABC=30°，AC=1，
∴AB=BA′=2，BC=$\sqrt{3}$，
∴∠CBA′=∠ABC+∠ABA′=90°，
∴CA′=$\sqrt{B{C}^{2}+BA{′}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴OA+OB+OC=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查含有30度角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)不變性、共線問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是把不在同一直線上的三條線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的三條線段．