Question

7．閱讀材料：
材料一：對于任意的非零實數(shù)x和正實數(shù)k，如果滿足$\frac{kx}{3}$為整數(shù)，則稱k是x的一個“整商系數(shù)”．
例如：x=2時，k=3⇒$\frac{3×2}{3}$=2，則3是2的一個整商系數(shù)；
x=2時，k=12⇒$\frac{12×2}{3}$=8，則12也是2的一個整商系數(shù)；
x=$\frac{1}{2}$時，k=6⇒$\frac{6×（\frac{1}{2}）}{3}$=1，則6是$\frac{1}{2}$的一個整商系數(shù)；
結論：一個非零實數(shù)x有無數(shù)個整商系數(shù)k，其中最小的一個整商系數(shù)記為k（x），例如k（2）=$\frac{3}{2}$
材料二：對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，兩根x₁，x₂有如下關系：
x₁+x₂=-$\frac{a}$；x₁x₂=$\frac{c}{a}$
應用：
（1）k（$\frac{3}{2}$）=2 k（-$\frac{5}{2}$）=$\frac{6}{5}$
（2）若實數(shù)a（a＜0）滿足k（$\frac{2}{a}$）＞k（$\frac{1}{a+1}$），求a的取值范圍？
（3）若關于x的方程：x²+bx+4=0的兩個根分別為x₁、x₂，且滿足k（x₁）+k（x₂）=9，則b的值為多少？

Answer 1

分析 （1）求出最小的個整商系數(shù)即可．
（2）根據(jù)k（$\frac{2}{a}$）＞k（$\frac{1}{a+1}$）分類討論列出不等式解不等式即可．
（3）利用根與系數(shù)關系把k（x₁）+k（x₂）=9，轉化為含有b的方程，記得分類討論即可．

解答 解：（1）k（$\frac{3}{2}$）=2，k（-$\frac{5}{2}$）=$\frac{6}{5}$．
故答案分別為2，$\frac{6}{5}$．
（2）∵k（$\frac{2}{a}$）＞k（$\frac{1}{a+1}$），
當-1＜a＜0時，原式化為$-\frac{3}{2}a$＞3（a+1）
∴a＜-$\frac{2}{3}$，即-1＜a＜-$\frac{2}{3}$，
當a＜-1時，原式化為$-\frac{3}{2}a$＞-3（a+1）
解得a＞-2，
故可知a的取值范圍為-2＜a＜-1或-1＜a＜-$\frac{2}{3}$．
（3）設方程的兩個根有x₁＜x₂，
由于x₁x₂=$\frac{c}{a}=4$，故x₁與x₂同號．
當x₂＜0時，k（x₁）+k（x₂）=-$\frac{3}{{x}_{1}}-\frac{3}{{x}_{2}}$=-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{3b}{4}=9$，
解得b=12．
當x₁＞0時，k（x₁）+k（x₂）=$\frac{3}{{x}_{1}}+\frac{3}{{x}_{2}}$=$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-3b}{4}=9$，
解得b=-12．
綜上b=±12．

點評 本題考查根與系數(shù)關系，解題的關鍵是理解題意，根據(jù)整商系數(shù)的定義解決問題，學會用轉化的思想把問題轉化為方程或不等式，題中也體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．