Question

7．閱讀材料：
材料一：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)x和正實(shí)數(shù)k，如果滿(mǎn)足$\frac{kx}{3}$為整數(shù)，則稱(chēng)k是x的一個(gè)“整商系數(shù)”．
例如：x=2時(shí)，k=3⇒$\frac{3×2}{3}$=2，則3是2的一個(gè)整商系數(shù)；
x=2時(shí)，k=12⇒$\frac{12×2}{3}$=8，則12也是2的一個(gè)整商系數(shù)；
x=$\frac{1}{2}$時(shí)，k=6⇒$\frac{6×（\frac{1}{2}）}{3}$=1，則6是$\frac{1}{2}$的一個(gè)整商系數(shù)；
結(jié)論：一個(gè)非零實(shí)數(shù)x有無(wú)數(shù)個(gè)整商系數(shù)k，其中最小的一個(gè)整商系數(shù)記為k（x），例如k（2）=$\frac{3}{2}$
材料二：對(duì)于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，兩根x₁，x₂有如下關(guān)系：
x₁+x₂=-$\frac{a}$；x₁x₂=$\frac{c}{a}$
應(yīng)用：
（1）k（$\frac{3}{2}$）=2 k（-$\frac{5}{2}$）=$\frac{6}{5}$
（2）若實(shí)數(shù)a（a＜0）滿(mǎn)足k（$\frac{2}{a}$）＞k（$\frac{1}{a+1}$），求a的取值范圍？
（3）若關(guān)于x的方程：x²+bx+4=0的兩個(gè)根分別為x₁、x₂，且滿(mǎn)足k（x₁）+k（x₂）=9，則b的值為多少？

Answer 1

分析 （1）求出最小的個(gè)整商系數(shù)即可．
（2）根據(jù)k（$\frac{2}{a}$）＞k（$\frac{1}{a+1}$）分類(lèi)討論列出不等式解不等式即可．
（3）利用根與系數(shù)關(guān)系把k（x₁）+k（x₂）=9，轉(zhuǎn)化為含有b的方程，記得分類(lèi)討論即可．

解答 解：（1）k（$\frac{3}{2}$）=2，k（-$\frac{5}{2}$）=$\frac{6}{5}$．
故答案分別為2，$\frac{6}{5}$．
（2）∵k（$\frac{2}{a}$）＞k（$\frac{1}{a+1}$），
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，原式化為$-\frac{3}{2}a$＞3（a+1）
∴a＜-$\frac{2}{3}$，即-1＜a＜-$\frac{2}{3}$，
當(dāng)a＜-1時(shí)，原式化為$-\frac{3}{2}a$＞-3（a+1）
解得a＞-2，
故可知a的取值范圍為-2＜a＜-1或-1＜a＜-$\frac{2}{3}$．
（3）設(shè)方程的兩個(gè)根有x₁＜x₂，
由于x₁x₂=$\frac{c}{a}=4$，故x₁與x₂同號(hào)．
當(dāng)x₂＜0時(shí)，k（x₁）+k（x₂）=-$\frac{3}{{x}_{1}}-\frac{3}{{x}_{2}}$=-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{3b}{4}=9$，
解得b=12．
當(dāng)x₁＞0時(shí)，k（x₁）+k（x₂）=$\frac{3}{{x}_{1}}+\frac{3}{{x}_{2}}$=$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-3b}{4}=9$，
解得b=-12．
綜上b=±12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根與系數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)整商系數(shù)的定義解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程或不等式，題中也體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．