Question

如圖，已知二次函數(shù)y=0.5x²+mx+n的圖象過點(diǎn)A（-3，6），并與x軸交于點(diǎn)B（-1，0）和點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）求線段PC的長(zhǎng)；
（3）設(shè)D為線段OC上的一點(diǎn)，且∠DPC=∠BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線y=

1

2

x2+mx+n過點(diǎn)-A（-3，6），B（-1，0），解得，m=-1，n=-1.5，從而得到所求的拋物線解析式為y=

1

2

x2-x-

3

2

；
（2）將上題求得的解析式變形為y=

1

2

(x-1)2-2，求得頂點(diǎn)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，-2）然后求得拋物線與x軸的交點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，0），過P作PM⊥x軸于M．根據(jù)P（1，-2）得到PM=2，OM=1，MC=OC-OM=2然后利用勾股定理求得PC的長(zhǎng)即可；
（3）根據(jù)PM=MC得到∠MPC=∠MCP=45°，過點(diǎn)A作AN⊥x軸于N，利用A（-3，6）得到AN=6，ON=3，進(jìn)一步得到CN=OC+ON=6，利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)，然后利用△CDP∽△CBA得到比例式

CD

CB

=

PC

AC

，將CD=3-a，PC=2

2

，BC=4，代入求得a的值后即可求得點(diǎn)D坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x2+mx+n過點(diǎn)-A（-3，6），B（-1，0），
∴

9 2 -3m+n=6 1 2 -m+n=0

解得，m=-1，n=-1.5，
∴所求的拋物線解析式為y=

1

2

x2-x-

3

2

…（3分）

（2）∵y=

1

2

(x-1)2-2
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，-2）當(dāng)y=0時(shí)，

1

2

x2-x-

3

2

=0
∴x₁=3，x₂=-1
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，0），
過P作PM⊥x軸于M．
∵P（1，-2）
∴PM=2，OM=1
∴MC=OC-OM=2
∴PC=

PM2+MC

=

4+4

=2

2

…（8分）

（3）∵PM=MC
∴∠MPC=∠MCP=45°，
過點(diǎn)A作AN⊥x軸于N，
∵A（-3，6）
∴AN=6，ON=3，
∴CN=OC+ON=6，
∴AC=

AN2+CN2

=

36+36

=6

2

∵AN=CN∴∠NAC=∠NCA=45°
∴∠MCP=∠NCA=45°
∵∠DPC=∠BAC
∴△CDP∽△CBA．
∴

CD

CB

=

PC

AC

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，0）
∴CD=3-a，PC=2

2

，BC=4，AC=6

2

∴

3-a

4

=

2 2

6 2

，a=

5

3

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（

5

3

，0）…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，解題過程中用到了將點(diǎn)的坐標(biāo)與線段的長(zhǎng)的轉(zhuǎn)化，是解決此類題目中比較關(guān)鍵的地方．