【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)MCD邊上,點(diǎn)N在正方形ABCD外部,且滿足∠CMN=90°,CM=MN.連接AN,CN,取AN的中點(diǎn)E,連接BE,AC,交于F點(diǎn).

(1) ①依題意補(bǔ)全圖形;

②求證:BEAC.

(2)請(qǐng)?zhí)骄烤段BE,AD,CN所滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

(3)設(shè)AB=1,若點(diǎn)M沿著線段CD從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,則在該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線段EN所掃過(guò)的面積為______________(直接寫出答案).

【答案】(1)①補(bǔ)圖見(jiàn)解析;②證明見(jiàn)解析;(2)2BE=AD+CN,證明見(jiàn)解析;(3).

【解析】(1)①依照題意補(bǔ)全圖形即可;②連接CE,由正方形以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠ACD=MCN=45°,從而得出∠ACN=90°,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及點(diǎn)EAN的中點(diǎn)即可得出AE=CE,由此即可得出B、E在線段AC的垂直平分線上,由此即可證得BEAC;

(2)BE=AD+CN.根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出BF=AD,再結(jié)合三角形的中位線性質(zhì)可得出EF=CN,由線段間的關(guān)系即可證出結(jié)論;

(3)找出EN所掃過(guò)的圖形為四邊形DFCN.根據(jù)正方形以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出BDCN,由此得出四邊形DFCN為梯形,再由AB=1,可算出線段CF、DF、CN的長(zhǎng)度,利用梯形的面積公式即可得出結(jié)論.

1)①依題意補(bǔ)全圖形,如圖1所示.

②證明:連接CE,如圖2所示.

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BCD=90°,AB=BC,

∴∠ACB=ACD=BCD=45°,

∵∠CMN=90°,CM=MN,

∴∠MCN=45°,

∴∠ACN=ACD+MCN=90°.

∵在RtACN中,點(diǎn)EAN中點(diǎn),

AE=CE=AN.

AE=CE,AB=CB,

∴點(diǎn)B,EAC的垂直平分線上,

BE垂直平分AC,

BEAC.

(2)BE=AD+CN.

證明:∵AB=BC,ABE=CBE,

AF=FC.

∵點(diǎn)EAN中點(diǎn),

AE=EN,

FEACN的中位線.

FE=CN.

BEAC,

∴∠BFC=90°,

∴∠FBC+FCB=90°.

∵∠FCB=45°,

∴∠FBC=45°,

∴∠FCB=FBC,

BF=CF.

RtBCF中,BF2+CF2=BC2,

BF=BC.

∵四邊形ABCD是正方形,

BC=AD,

BF=AD.

BE=BF+FE,

BE=AD+CN.

(3)在點(diǎn)M沿著線段CD從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中,線段EN所掃過(guò)的圖形為四邊形DFCN.

∵∠BDC=45°,DCN=45°,

BDCN,

∴四邊形DFCN為梯形.

AB=1,

CF=DF=BD=,CN=CD=,

S梯形DFCN=(DF+CN)CF=+)×=

練習(xí)冊(cè)系列答案
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