Question

【題目】請(qǐng)閱讀下列材料：

問(wèn)題：如圖（1），一圓柱的高為5dm，底面半徑為5dm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線(xiàn)．小明設(shè)計(jì)了兩條路線(xiàn)：

路線(xiàn)1：側(cè)面展開(kāi)圖中的AC．如下圖（2）所示：

設(shè)路線(xiàn)1的長(zhǎng)度為，則，

路線(xiàn)2：高線(xiàn)AB + 底面直徑BC．如上圖（1）所示：

設(shè)路線(xiàn)2的長(zhǎng)度為，則，

∵，

∴

∴，

所以要選擇路線(xiàn)2較短．

（1）小明對(duì)上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1dm，高AB為5dm”繼續(xù)按前面的路線(xiàn)進(jìn)行計(jì)算．請(qǐng)你幫小明完成下面的計(jì)算：

路線(xiàn)1：___________________；

路線(xiàn)2：__________

∵ ，

∴ (填>或<) 所以應(yīng)選擇路線(xiàn)_________(填1或2)較短.

(2)請(qǐng)你幫小明繼續(xù)研究:在一般情況下,當(dāng)圓柱的底面半徑為r,高為h時(shí)，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線(xiàn)才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點(diǎn)的路線(xiàn)最短．

Answer 1

【答案】（1）25+π2；49；＜；＜；1；（2）（2）當(dāng)r＜，l1＜l2；當(dāng)r=，l1=l2；當(dāng)r＞，l1＞l2．

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理易得路線(xiàn)1：l12=AC2=高2+底面周長(zhǎng)一半2；路線(xiàn)2：l22=(高+底面直徑)2，然后比較即可；

（2）先分別求出l12和l22的值，進(jìn)而得出l12-l22的值，然后分三種情況計(jì)算即可．

解：（1）路線(xiàn)1：l12=AC2=25+π2；

路線(xiàn)2：l22=(AB+BC)2=49．

∵l12＜l22，

∴l1＜l2，

∴選擇路線(xiàn)1較短．

故答案為：25+π2；49；＜；＜；1；

（2）l12=AC2=AB2+BC2=h2+(πr)2，

l22=(AB+BC)2=(h+2r)2，

∴l12-l22=h2+(πr)2-(h+2r)2=r(π2r-4r-4h)=r[(π2-4)r-4h]，

當(dāng)r[(π2-4)r-4h]＜0時(shí)，r＜，此時(shí)l12＜l22，即l1＜l2；

當(dāng)r[(π2-4)r-4h]=0時(shí)，r=，此時(shí)l12=l22，即l1=l2；

當(dāng)r[(π2-4)r-4h]＞0時(shí)，r＞，此時(shí)l12＞l22，即l1＞l2；

綜上可知：當(dāng)r＜，l1＜l2；當(dāng)r=，l1=l2；當(dāng)r＞，l1＞l2．