【題目】如圖1,四邊形ABCD是正方形,G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合),以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG,連接BG,DE.
(1)①猜想圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系,不必證明;
②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度α,得到如圖2情形.請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并證明你的判斷.
(2)將原題中正方形改為矩形(如圖3、4),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb (a≠b,k>0),第(1)題①中得到的結(jié)論哪些成立,哪些不成立?若成立,以圖4為例簡(jiǎn)要說明理由.
(3)在第(2)題圖4中,連接DG、BE,且a=3,b=2,k=,求BE2+DG2的值.
【答案】(1)①BG⊥DE,BG=DE;②BG⊥DE,證明見解析;(2)BG⊥DE,證明見解析;(3)16.25.
【解析】分析:(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì),顯然三角形BCG順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可得到三角形DCE,從而判斷兩條直線之間的關(guān)系;
②結(jié)合正方形的性質(zhì),根據(jù)SAS仍然能夠判定△BCG≌△DCE,從而證明結(jié)論;
(2)根據(jù)兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等,且夾角相等可以判定上述兩個(gè)三角形相似,從而可以得到(1)中的位置關(guān)系仍然成立;
(3)連接BE、DG.根據(jù)勾股定理即可把BE2+DG2轉(zhuǎn)換為兩個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬平方和.
詳解:(1)①BG⊥DE,BG=DE;
②∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形,
∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCG=∠DCE,
∴△BCG≌△DCE,
∴BG=DE,∠CBG=∠CDE,
又∵∠CBG+∠BHC=90°,
∴∠CDE+∠DHG=90°,
∴BG⊥DE.
(2)∵AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb,
∴,
又∵∠BCG=∠DCE,
∴△BCG∽△DCE,
∴∠CBG=∠CDE,
又∵∠CBG+∠BHC=90°,
∴∠CDE+∠DHG=90°,
∴BG⊥DE.
(3)連接BE、DG.
根據(jù)題意,得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1,
∵BG⊥DE,∠BCD=∠ECG=90°
∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始,先向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度,可以看到終點(diǎn)表示的數(shù)是-2,已知點(diǎn)A,B是數(shù)軸上的點(diǎn),請(qǐng)參照?qǐng)D并思考,完成下列各題.
(1)如果點(diǎn)A表示數(shù)-3,將點(diǎn)A向右移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度,那么終點(diǎn)B表示的數(shù)是_____,A,B兩點(diǎn)間的距離是_____;
(2)如果點(diǎn)A表示數(shù)3,將A點(diǎn)向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度,再向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度,那么終點(diǎn)表示的數(shù)是_____,A,B兩點(diǎn)間的距離為_____;
(3)如果點(diǎn)A表示數(shù)-4,將A點(diǎn)向右移動(dòng)168個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左移動(dòng)256個(gè)單位長(zhǎng)度,那么終點(diǎn)B表示的數(shù)是_____,A、B兩點(diǎn)間的距離是_____;
(4)一般地,如果A點(diǎn)表示的數(shù)為m,將A點(diǎn)向右移動(dòng)n個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左移動(dòng)p個(gè)單位長(zhǎng)度,那么請(qǐng)你猜想終點(diǎn)B表示什么數(shù)?A,B兩點(diǎn)間的距離為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AGF=∠ABC,∠ 1+∠ 2=180°.
(1)試判斷BF與DE的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若BF⊥AC,∠CDE=30°,求∠AFG的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知AC⊥BC于C,BC=a,CA=b,AB=c,下列圖形中⊙O與△ABC的某兩條邊或三邊所在的直線相切,則⊙O的半徑為的是( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,證明定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半.
已知:點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn).
求證:DE∥BC,DE=BC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把一張矩形紙片ABCD按如圖方式折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合,點(diǎn)C與點(diǎn)F重合(E、F兩點(diǎn)均在BD上),折痕分別為BH、DG.
(1)求證:△BHE≌△DGF;
(2)若AB=6cm,BC=8cm,求線段FG的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A是以BC為直徑的⊙O上一點(diǎn),AD⊥BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作⊙O的切線,與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,G是AD的中點(diǎn),連結(jié)CG并延長(zhǎng)與BE相交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)AF與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.
(1)求證:BF=EF:
(2)求證:PA是⊙O的切線;
(3)若FG=BF,且⊙O的半徑長(zhǎng)為3,求BD的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)(49)(+91)(5)+(9);
(2)
(3)3x2-[7x-(4x-3)-2x2]
(4)解方程:x+13=5x+37
(5)先化簡(jiǎn),再求值:,其中x=﹣3,y=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀與理解:
如圖,一只甲蟲在5×5的方格(每個(gè)方格邊長(zhǎng)均為1)上沿著網(wǎng)格線爬行.若我們規(guī)定:在如圖網(wǎng)格中,向上(或向右)爬行記為“+”,向下(或向左)爬行記為“﹣”,并且第一個(gè)數(shù)表示左右方向,第二個(gè)數(shù)表示上下方向.
例如:從A到B記為:A→B(+1,+4),從D到C記為:D→C(﹣1,+2).
思考與應(yīng)用:
(1)圖中B→C( , )C→D( , )
(2)若甲蟲從A到P的行走路線依次為:(+3,+2)→(+1,+3)→(+1,﹣2),請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出P的位置.
(3)若甲蟲的行走路線為A→(+1,+4)→(+2,0)→(+1,﹣2)→(﹣4,﹣2),請(qǐng)計(jì)算該甲蟲走過的總路程S.
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