【題目】已知如圖,矩形OABC的長OA= ,寬OC=1,將△AOC沿AC翻折得△APC.
(1)求∠PCB的度數(shù);
(2)若P,A兩點在拋物線y=﹣ x2+bx+c上,求b,c的值,并說明點C在此拋物線上;
(3)(2)中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點D,與x軸相交于另外一點E,若點M是x軸上的點,N是y軸上的點,以點E、M、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形,試求點M、N的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:在Rt△OAC中,OA= ,OC=1,則∠OAC=30°,∠OCA=60°;
根據(jù)折疊的性質(zhì)知:OA=AP= ,∠ACO=∠ACP=60°;
∵∠BCA=∠OAC=30°,且∠ACP=60°,
∴∠PCB=30°.
(2)
解:過P作PQ⊥OA于Q;
Rt△PAQ中,∠PAQ=60°,AP= ;
∴OQ=AQ= ,PQ= ,
所以P( , );
將P、A代入拋物線的解析式中,得:
,
解得 ;
即y=﹣ x2+ x+1;
當(dāng)x=0時,y=1,故C(0,1)在拋物線的圖像上
(3)
解:①若DE是平行四邊形的對角線,點C在y軸上,CD平行x軸,
∴過點D作DM∥CE交x軸于M,則四邊形EMDC為平行四邊形,
把y=1代入拋物線解析式得點D的坐標(biāo)為( ,1)
把y=0代入拋物線解析式得點E的坐標(biāo)為(﹣ ,0)
∴M( ,0);N點即為C點,坐標(biāo)是(0,1);
②若DE是平行四邊形的邊,
過點A作AN∥DE交y軸于N,四邊形DANE是平行四邊形,
∴DE=AN= = =2,
∵tan∠EAN= ,
∴∠EAN=30°,
∵∠DEA=∠EAN,
∴∠DEA=30°,
∴M( ,0),N(0,﹣1);
同理過點C作CM∥DE交y軸于N,四邊形CMDE是平行四邊形,
∴M(﹣ ,0),N(0,1).
【解析】(1)根據(jù)OC、OA的長,可求得∠OCA=∠ACP=60°(折疊的性質(zhì)),∠BCA=∠OAC=30°,由此可判斷出∠PCB的度數(shù).(2)過P作PQ⊥OA于Q,在Rt△PAQ中,易知PA=OA=3,而∠PAO=2∠PAC=60°,即可求出AQ、PQ的長,進(jìn)而可得到點P的坐標(biāo),將P、A坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可得到b、c的值,從而確定拋物線的解析式,然后將C點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗證即可.(3)根據(jù)拋物線的解析式易求得C、D、E點的坐標(biāo),然后分兩種情況考慮:
①DE是平行四邊形的對角線,由于CD∥x軸,且C在y軸上,若過D作直線CE的平行線,那么此直線與x軸的交點即為M點,而N點即為C點,D、E的坐標(biāo)已經(jīng)求得,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得到點M的坐標(biāo),而C點坐標(biāo)已知,即可得到N點的坐標(biāo);
②DE是平行四邊形的邊,由于A在x軸上,過A作DE的平行線,與y軸的交點即為N點,而M點即為A點;易求得∠DEA的度數(shù),即可得到∠NAO的度數(shù),已知OA的長,通過解直角三角形可求得ON的值,從而確定N點的坐標(biāo),而M點與A點重合,其坐標(biāo)已知;
同理,由于C在y軸上,且CD∥x軸,過C作DE的平行線,也可找到符合條件的M、N點,解法同上.
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.
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對這兩名運(yùn)動員的成績進(jìn)行比較,下列四個結(jié)論中,不正確的是( )
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B. 甲運(yùn)動員得分的中位數(shù)大于乙運(yùn)動員得分的中位數(shù)
C. 甲運(yùn)動員得分的平均數(shù)大于乙運(yùn)動員得分的平均數(shù)
D. 甲運(yùn)動員的成績比乙運(yùn)動員的成績穩(wěn)定
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(1)求a的值.
(2)求小明取回書后y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)直接寫出小明取回書后與弟弟相距100m的時間.
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(1)求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車?
(2)若公司招聘m名新工人,使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工人剛好一個月(30天)完成安裝任務(wù),已知工人們安裝的共享單車中不能正常投入運(yùn)營的占4%,且招聘的新工人數(shù)比抽調(diào)的熟練工人數(shù)少,求m的值.
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x | 30 | 32 | 34 | 36 |
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