Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE．

（1）求證：四邊形AEBD是矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：∵點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，

∴四邊形AEBD是平行四邊形。

∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC。

∴∠ADB=90°。

∴平行四邊形AEBD是矩形。

（2）當∠BAC=90°時，矩形AEBD是正方形。理由如下：

∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD=BD=CD。

∵由（1）得四邊形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形。

【解析】

試題（1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進而由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADB=90°，即可得出答案；

（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BD=CD，進而利用正方形的判定得出即可．

（1）證明：∵點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，

∴四邊形AEBD是平行四邊形，

∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴平行四邊形AEBD是矩形；

（2）當∠BAC=90°時，

理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，

∴AD=BD=CD，

∵由（1）得四邊形AEBD是矩形，

∴矩形AEBD是正方形．