【題目】如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD對角線AC上一動點(diǎn),點(diǎn)E在射線BC上,且PEPB,連接PDOAC中點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時,試猜想PEPD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,請說明理由;

(2)①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時,(1)中的猜想還成立嗎?請說明理由;

②如圖2,試用等式來表示PB,BC,CE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

(3)如圖3,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)時,連接DE,試探究線段PB與線段DE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

【答案】(1)PE=PD,PE⊥PD,證明詳見解析;(2)①成立PE=PD,PE⊥PD,證明詳見解析;②,證明詳見解析;(3)PB=DE,證明詳見解析.

【解析】

試題

(1)如圖1,過點(diǎn)P分別作PM⊥BC于點(diǎn)M,PN⊥CD于點(diǎn)N,則由已知條件可得PM=PN,∠MPN=90°,由正方形關(guān)于對角線對稱可得PB=PD,結(jié)合PB=PE可得PE=PD,從而可得△PME≌△PND,由此可得∠EPM=∠DPN,從而可證得∠DPE=90°,得到PD⊥PE;

(2)①如圖2,過點(diǎn)P分別作PM⊥BC于點(diǎn)M,PN⊥CD于點(diǎn)N,同(1)可證得PD=PE,PD⊥PE仍然成立;

如圖2,連接DE,在Rt△DCE中,由勾股定理可得DC2+CE2=DE2,結(jié)合在等腰Rt△DPE中,DE2=2PE2PE=PB,BC=DC即可得到BC2+CE2=2PB2;

(3)如圖3,由已知條件易得∠DCE=∠ACD=∠ACB=60°,由菱形關(guān)于對角線對稱可得PB=PE,∠OBC=∠PDC,結(jié)合PB=PE可得∠PEC=∠PBC=∠PDCPE=PD,再結(jié)合∠PHD=∠CHE可得∠DPE=∠DCE=60°,從而可得△PDE是等邊三角形,由此即可得到DE=PE=PB.

試題解析

(1)PD=PEPD⊥PE,理由如下

如圖1,過點(diǎn)P分別作PM⊥BC于點(diǎn)M,PN⊥CD于點(diǎn)N,

∴∠PME=∠PND=90°,

∵四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)PAC上,

∴∠BCD=90°,PM=PN,PB=PD,

四邊形PMCN是正方形,

∴∠MPN=90°,

∵PB=PE,

∴PE=PD,

∴Rt△PME≌Rt△PND,

∴∠DPN=∠EPM,

∴∠DPN+∠NPE=∠NPE+∠EPM=∠MPN=90°,

∴PD⊥PE,

∴PEPE關(guān)系是:PD=PEPD⊥PE;

(2)①如圖2,過點(diǎn)P分別作PM⊥BC于點(diǎn)M,PN⊥CD于點(diǎn)N,(1)同法可證得PD=PE,PD⊥PE仍然成立;

如圖2,連接DE,

可得PE=PD,PE⊥PD,

∴DE2=PD2+PE2=2PE2

四邊形ABCD是正方形,

∴BC=DC,∠BCD=∠DCE=90°,

Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,

∴BC2+CE2=DE2=2PE2

∵PE=PB,

∴BC2+CE2=2PB2.

(3)如圖3,∵四邊形ABCD是菱形,且∠BAD=120°,

∴∠ACB=∠ACD=60°,

∴∠DCE=180°-60°-60°=60°,

點(diǎn)P在對稱性AC上,

由菱形是關(guān)于對角線對稱的軸對稱圖形可得:PD=PB,∠PDC=∠PBC,

∵PB=PE,

∴PD=PE,∠PBC=∠PEC,

∴∠PEC=∠PDC,

∵∠PHD=∠CHE,

∴∠DPE=∠DCE=60°,

∴△PED是等邊三角形,

∴DE=PE,

∴DE=PB.

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“讀書節(jié)”活動計劃書

圖書類別

A

B

進(jìn)價(元/本)

18

12

備注

(1)用不超過16800元購進(jìn)A、B兩類圖書共1000本:

(2)A類圖書不少于600本:

(1)陳經(jīng)理査看計劃書時發(fā)現(xiàn):A類圖書的標(biāo)價是B類圖書標(biāo)價的1.5倍,若顧客同樣用540元購買圖書,能購買A類圖書數(shù)量比B類圖書的數(shù)量少10本,請求出AB兩類圖書的標(biāo)價;

(2)經(jīng)市場調(diào)查后,陳經(jīng)理發(fā)現(xiàn)它們高估了“讀書節(jié)”對圖書銷售的影響:便調(diào)整了銷售方案;A類圖書每本按標(biāo)價降低2元銷售,B類圖書價格不變,那么該書店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤?

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將圖①中的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,如圖②.直接寫出翻折后的這部分拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式:

【探究】

在圖②中,翻折后的這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成了一個“W”形狀的新圖象,則新圖象對應(yīng)的函數(shù)yx的增大而增大時,x的取值范圍是

【應(yīng)用】結(jié)合上面的操作與探究,繼續(xù)思考:

如圖③,若拋物線y=(x-h)2-4x軸交于A,B兩點(diǎn)(AB左),將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折,同樣,也得到了一個“W”形狀的新圖象

1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);(用含h的式子表示)

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