Question

【題目】如圖已知：是圓的直徑，，點(diǎn)為圓上異于點(diǎn)、的一點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn).

（1）如果交于點(diǎn)，求：的值；

（2）如果于點(diǎn)，求的正弦值；

（3）如果，為上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作，交于點(diǎn)，與射線交于圓內(nèi)點(diǎn)，請(qǐng)完成下列探究.

探究一：設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式及其定義域.

探究二：如果點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）探究一： （其中）；探究二：.

【解析】

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)O作ON∥BC交AM于點(diǎn)N，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到ON=BM，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論；

（2）如圖1，連接OM，根據(jù)垂徑定理得到OM⊥BC，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠OME=∠MCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ME2=OECE，設(shè)OE=x，則CE=2x，ME=x，解直角三角形即可得到結(jié)論；

（3）探究一：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DL⊥DF交BO于點(diǎn)L，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠LDB=∠C=∠B，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到BL=DL，設(shè)BD=x，則CD=8-x，BL=DL=x，CH=(8x)，OH=OC-CH=5-（8-x），根據(jù)平行線成線段成比例定理得到y=（其中＜x＜）；

探究二：根據(jù)題意得到OF=OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DF⊥OC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到FO=OL，列方程即可得到結(jié)論．

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)O作ON∥BC交AM于點(diǎn)N，

∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)N是AM的中點(diǎn)，

∴ON=BM，

∵點(diǎn)M為弦BC的中點(diǎn)，

∴BM=CM，

∴ON=CM，

∵ON∥BC，

∴；

（2）如圖1，連接OM，

∵點(diǎn)M為弦BC的中點(diǎn)，

∴OM⊥BC，

∵AM⊥OC于點(diǎn)E，

∴∴∠OME+∠CME=∠CME+∠C=90°，

∴∠OME=∠MCE，

∴△OME∽△MCE，

∴ME2=OECE，

設(shè)OE=x，則CE=2x，ME=x，

在Rt△MCE中，CM==x，

∴sin∠ECM===，

∴sin∠ABC=；

（3）探究一：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵DF⊥OC，

∴DL∥OC，

∴∠LDB=∠C=∠B，

∴BL=DL，

∵AB=10，AB：BC=5：4，

設(shè)BD=x，則CD=8-x，BL=DL=x，CH=(8x)，OH=OC-CH=5-（8-x），

∵OH∥DL，

∴=，

∴，

∴y=（其中）；

探究二：∵以O為圓心，OF為半徑的圓經(jīng)過(guò)D，

∴OF=OD，

∵DF⊥OC，

∴OC垂直平分DF，FO=OL，

∴y=5-x，

∴＝5x，

解得：x=，

∴BD=．