Question

2．在△ABC中，AC=2$\sqrt{5}$，點D為直線AB上一點，且AB=3BD，直線CD與直線BC所成銳角的正切值為$\frac{1}{2}$，并且CD⊥AC，則BC的長為$\frac{5}{2}$或5．

Answer 1

分析 如圖1中，當(dāng)點D在AB的延長線上時，作BE⊥CD垂足為E，先求出BE，EC，在RT△BCE中利用勾股定理即可解決，如圖2中，當(dāng)點D在線段AB上時，作BE⊥CD于E，方法類似第一種情形．

解答 解：如圖1中，當(dāng)點D在AB的延長線上時，作BE⊥CD垂足為E，
∵AC⊥CD，
∴AC∥BE，
∴$\frac{BE}{AC}$=$\frac{DB}{DA}$=$\frac{1}{4}$，
∵$AC=2\sqrt{5}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$，
∵tan$∠BCE=\frac{1}{2}$，
∴EC=2BE=$\sqrt{5}$，
∴BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
如圖2中，當(dāng)點D在線段AB上時，
作BE⊥CD于E，
∵AC∥BE，AC=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{BE}{AC}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=$\sqrt{5}$，
∵tan∠BCE=$\frac{1}{2}$，
∴EC=2BE=2$\sqrt{5}$，
∴BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=5．
故答案為$\frac{5}{2}$或5．

點評 本題考查平行線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，利用平行線的性質(zhì)解決問題，屬于中考常考題型．